Lớp 7 · Chương I: Số hữu tỉ

Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

🚀 Khởi động

🎯 Lũy thừa — Phép toán mạnh mẽ

Lũy thừa giúp viết gọn các phép nhân lặp lại và tính toán nhanh hơn!

📐

Lũy thừa bậc 2

$2^{2} = 2 t im es 2 = 4$

📊

Lũy thừa bậc 3

$2^{3} = 2 t im es 2 t im es 2 = 8$

🔢

Lũy thừa bậc n

$2^{n} = 2 t im es 2 t im es ... t im es 2$

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm lũy thừa

Định nghĩa: Lũy thừa bậc $n$ của số hữu tỉ $a$ là tích của $n$ thừa số $a$ :

$a^{n} = n thừa s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} a \times a \times a \times ... \times a$

Trong đó:

$a$ gọi là cơ số
$n$ gọi là số mũ (với $n \in N^{*}$ )
$a^{n}$ đọc là ” $a$ mũ $n$ ” hoặc ” $a$ lũy thừa $n$ ”

Ví dụ 1:

$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$
$(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$
$(- 2)^{3} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8$
$(- \frac{2}{3})^{2} = (- \frac{2}{3}) \times (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9}$

Quy ước đặc biệt:

$a^{1} = a$ (lũy thừa bậc 1 bằng chính số đó)
$a^{0} = 1$ (với $a \neq = 0$ )

⚡ 2. Tính chất của lũy thừa

Các công thức cơ bản:

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$
Chia hai lũy thừa cùng cơ số: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n} (a \neq = 0, m \geq n)$
Lũy thừa của lũy thừa: $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
Lũy thừa của một tích: $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$
Lũy thừa của một thương: $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}} (b \neq = 0)$

Ví dụ 2: Áp dụng tính chất

a) $2^{3} \times 2^{4} = 2^{3 + 4} = 2^{7} = 128$

b) $5^{6} : 5^{2} = 5^{6 - 2} = 5^{4} = 625$

c) $(3^{2})^{3} = 3^{2 \times 3} = 3^{6} = 729$

d) $(2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3} = 8 \times 125 = 1000$

e) $(\frac{2}{3})^{4} = \frac{2 ^{4}}{3 ^{4}} = \frac{16}{81}$

➖ 3. Lũy thừa của số âm

Quy tắc quan trọng:

Nếu số mũ chẵn: $(- a)^{2 n} = a^{2 n}$ (kết quả dương)
Nếu số mũ lẻ: $(- a)^{2 n + 1} = - a^{2 n + 1}$ (kết quả âm)

Ví dụ 3:

a) $(- 2)^{4} = 16$ (số mũ chẵn → kết quả dương)

b) $(- 2)^{5} = - 32$ (số mũ lẻ → kết quả âm)

c) $(- \frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ (số mũ chẵn → kết quả dương)

d) $(- \frac{1}{2})^{3} = - \frac{1}{8}$ (số mũ lẻ → kết quả âm)

⚖️ 4. So sánh các lũy thừa

Quy tắc so sánh:

Cùng cơ số (cơ số > 1): Số mũ lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn
- Ví dụ: $2^{5} > 2^{3}$ vì $5 > 3$
Cùng số mũ: So sánh cơ số
- Ví dụ: $5^{3} > 3^{3}$ vì $5 > 3$
Khác cơ số và số mũ: Tính giá trị rồi so sánh
- Ví dụ: $2^{5} = 32$ và $3^{3} = 27$ , nên $2^{5} > 3^{3}$

Ví dụ 4: So sánh

a) $3^{7}$ và $3^{5}$ : Vì $7 > 5$ nên $3^{7} > 3^{5}$

b) $2^{10}$ và $1 0^{2}$ : $2^{10} = 1024$ và $1 0^{2} = 100$ , nên $2^{10} > 1 0^{2}$

c) $(\frac{1}{2})^{3}$ và $(\frac{1}{2})^{5}$ : Vì $\frac{1}{2} < 1$ nên $(\frac{1}{2})^{3} > (\frac{1}{2})^{5}$

🔬 5. Ứng dụng của lũy thừa

Ví dụ 5: Tính nhanh

a) $2^{10} = 1024$ (dùng trong tin học: 1 KB ≈ $2^{10}$ bytes)

b) $1 0^{6} = 1000000$ (1 triệu)

c) $1 0^{9} = 1000000000$ (1 tỷ)

Ví dụ 6: Viết gọn

a) $8 = 2^{3}$

b) $27 = 3^{3}$

c) $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4} = 2^{- 4}$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Kết quả của $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$ là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Một vi khuẩn phân chia thành 2 con sau mỗi giờ. Ban đầu có 1 con vi khuẩn.

a) Sau 1 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?

b) Sau 2 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?

c) Sau $n$ giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?

d) Sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?

Giải:

a) Sau 1 giờ: $2^{1} = 2$ con

b) Sau 2 giờ: $2^{2} = 4$ con

c) Sau $n$ giờ: $2^{n}$ con

d) Sau 10 giờ: $2^{10} = 1024$ con

⭐ Ghi nhớ

Lũy thừa: $a^{n} = a \times a \times ... \times a$ ( $n$ thừa số)
Nhân: $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$
Chia: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ (với $a \neq = 0$ , $m \geq n$ )
Lũy thừa của lũy thừa: $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
Lũy thừa của tích: $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$
Lũy thừa của thương: $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$
Số âm: Số mũ chẵn → dương, số mũ lẻ → âm
Quy ước: $a^{1} = a$ , $a^{0} = 1$ (với $a \neq = 0$ )

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tính giá trị của các lũy thừa sau:

a) $3^{4}$ b) $(- 2)^{5}$ c) $(\frac{1}{2})^{3}$ d) $(- \frac{2}{3})^{2}$

Bài 2: Viết dưới dạng lũy thừa:

a) $16$ b) $125$ c) $\frac{1}{8}$ d) $\frac{9}{25}$

Bài 3: Thực hiện phép tính:

a) $2^{3} \times 2^{5}$ b) $5^{7} : 5^{4}$ c) $(3^{2})^{4}$ d) $(2 \times 3)^{3}$

Bài 4: Tính nhanh:

a) $2^{5} \times 2^{3} : 2^{4}$

b) $(5^{2})^{3} : 5^{4}$

c) $(\frac{2}{3})^{2} \times (\frac{3}{2})^{2}$

d) $3^{4} \times 9^{2}$ (Gợi ý: $9 = 3^{2}$ )

Bài 5: So sánh:

a) $2^{10}$ và $1 0^{2}$

b) $3^{5}$ và $5^{3}$

c) $(\frac{1}{2})^{4}$ và $(\frac{1}{2})^{6}$

d) $(- 2)^{4}$ và $(- 3)^{2}$

Bài 6: Tìm $x$ , biết:

a) $2^{x} = 32$

b) $3^{x} = 81$

c) $x^{3} = 125$

d) $(\frac{1}{2})^{x} = \frac{1}{16}$

Bài 7 (Thực tế): Một tờ giấy có độ dày $0, 1$ mm. Gấp đôi tờ giấy $n$ lần thì độ dày là $0, 1 \times 2^{n}$ mm.

a) Gấp đôi 5 lần thì độ dày là bao nhiêu?

b) Gấp đôi 10 lần thì độ dày là bao nhiêu cm?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $81$ ; b) $- 32$ ; c) $\frac{1}{8}$ ; d) $\frac{4}{9}$

Bài 2: a) $2^{4}$ hoặc $4^{2}$ ; b) $5^{3}$ ; c) $(\frac{1}{2})^{3}$ hoặc $2^{- 3}$ ; d) $(\frac{3}{5})^{2}$

Bài 3: a) $2^{8} = 256$ ; b) $5^{3} = 125$ ; c) $3^{8} = 6561$ ; d) $6^{3} = 216$

Bài 4: a) $2^{4} = 16$ ; b) $5^{2} = 25$ ; c) $1$ ; d) $3^{8} = 6561$

Bài 5: a) $2^{10} = 1024 > 100 = 1 0^{2}$ ; b) $3^{5} = 243 > 125 = 5^{3}$ ; c) $(\frac{1}{2})^{4} > (\frac{1}{2})^{6}$ ; d) $(- 2)^{4} = 16 > 9 = (- 3)^{2}$

Bài 6: a) $x = 5$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 5$ ; d) $x = 4$

Bài 7: a) $0, 1 \times 2^{5} = 3, 2$ mm; b) $0, 1 \times 2^{10} = 102, 4$ mm $= 10, 24$ cm