Lớp 7 · Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

🚀 Khởi động

🎯 Góc và cạnh đối diện

∠

Góc lớn hơn

Cạnh đối diện lớn hơn

━

Cạnh lớn hơn

Góc đối diện lớn hơn

🔍 Khám phá

📖 1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn

Định lí 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong tam giác $A B C$ :

Nếu $A B > A C$ thì $C > B$

Ví dụ 1: Tam giác $A B C$ có $B C = 5$ cm, $A C = 7$ cm, $A B = 9$ cm. Sắp xếp các góc theo thứ tự tăng dần.

Ta có: $B C < A C < A B$

Góc đối diện với $B C$ là $A$

Góc đối diện với $A C$ là $B$

Góc đối diện với $A B$ là $C$

Vậy: $A < B < C$

📖 2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn

Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Trong tam giác $A B C$ :

Nếu $B > C$ thì $A C > A B$

Ví dụ 2: Tam giác $A B C$ có $A = 8 0^{\circ}$ , $B = 6 0^{\circ}$ , $C = 4 0^{\circ}$ . Sắp xếp các cạnh theo thứ tự giảm dần.

Ta có: $A > B > C$

Cạnh đối diện với $A$ là $B C$

Cạnh đối diện với $B$ là $A C$

Cạnh đối diện với $C$ là $A B$

Vậy: $B C > A C > A B$

📖 3. Hệ quả

Hệ quả 1: Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

Hệ quả 2: Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Hệ quả 3: Trong tam giác cân, hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau.

Ví dụ 3: Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . So sánh các cạnh.

$A = 9 0^{\circ}$ là góc lớn nhất

Cạnh đối diện $B C$ (cạnh huyền) là cạnh lớn nhất

Vậy: $B C > A B$ và $B C > A C$

📖 4. Ứng dụng

Bài toán: Cho tam giác $A B C$ có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm, $B C = 10$ cm. Chứng minh tam giác $A B C$ vuông tại $A$ .

Giải:

Ta có: $A B < A C < B C$

Suy ra: $C < B < A$

Vậy $A$ là góc lớn nhất.

Kiểm tra: $A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2} = B C^{2}$

Theo định lí Pythagore đảo, tam giác $A B C$ vuông tại $A$ .

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Ba địa điểm $A$ , $B$ , $C$ tạo thành tam giác. Biết khoảng cách $A B = 5$ km, $A C = 7$ km, $B C = 9$ km.

a) Góc nào là góc lớn nhất?

b) Nếu đứng tại $A$ nhìn sang $B$ và $C$ , góc nhìn là bao nhiêu so với các góc khác?

Giải:

a) Ta có: $A B < A C < B C$

Góc đối diện với cạnh lớn nhất $B C$ là $A$

Vậy $A$ là góc lớn nhất.

b) Góc nhìn từ $A$ chính là $A$ , là góc lớn nhất trong ba góc.

⭐ Ghi nhớ

Góc lớn hơn → cạnh đối diện lớn hơn
Cạnh lớn hơn → góc đối diện lớn hơn
Tam giác vuông: cạnh huyền lớn nhất
Tam giác tù: cạnh đối diện góc tù lớn nhất
Tam giác cân: hai cạnh bên bằng nhau

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tam giác $A B C$ có $A B = 4$ cm, $A C = 6$ cm, $B C = 7$ cm. Sắp xếp các góc theo thứ tự tăng dần.

Bài 2: Tam giác $A B C$ có $A = 5 0^{\circ}$ , $B = 7 0^{\circ}$ , $C = 6 0^{\circ}$ . Sắp xếp các cạnh theo thứ tự giảm dần.

Bài 3: Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , có $A B = 3$ cm, $A C = 4$ cm. Tính $B C$ và so sánh các cạnh.

Bài 4: Tam giác cân $A B C$ có $A B = A C = 5$ cm, $B C = 6$ cm. So sánh các góc của tam giác.

Bài 5: Cho tam giác $A B C$ có $A > 9 0^{\circ}$ . Chứng minh $B C$ là cạnh lớn nhất.

📊 Đáp số

Bài 1: $C < B < A$

Bài 2: $A C > A B > B C$

Bài 3: $B C = 5$ cm; $B C > A C > A B$

Bài 4: $A < B = C$

Bài 5: $A$ là góc lớn nhất nên $B C$ (đối diện $A$ ) là cạnh lớn nhất