Lớp 7 · Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Ôn tập chương 9 - Toán 7

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập chương 9 — Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Chương 9 giới thiệu các quan hệ giữa góc, cạnh và các đường đặc biệt trong tam giác. Hãy cùng ôn tập lại toàn bộ kiến thức!

📐

Góc và cạnh

Quan hệ, bất đẳng thức

⊥

Đường vuông góc

Khoảng cách

🔄

Đồng quy

Trọng tâm, trực tâm

🔍 Khám phá

📖 I. LÝ THUYẾT

1. Quan hệ giữa góc và cạnh

Định lí 1: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Định lí 2: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Hệ quả: Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

2. Bất đẳng thức tam giác

Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.

$a + b > c, b + c > a, c + a > b$

Hệ quả: Hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ nhỏ hơn độ dài cạnh thứ ba.

$∣ a - b ∣ < c, ∣ b - c ∣ < a, ∣ c - a ∣ < b$

3. Đường vuông góc

Định nghĩa: Đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng là đoạn thẳng ngắn nhất từ điểm đó đến đường thẳng.

Khoảng cách: Độ dài đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng gọi là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng.

4. Đường trung tuyến

Định nghĩa: Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện.

Tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm.

Trọng tâm: Chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, phần từ đỉnh đến trọng tâm bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến.

5. Đường phân giác

Định nghĩa: Đường phân giác của tam giác là đoạn thẳng chia góc thành hai phần bằng nhau.

Tính chất: Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn nội tiếp.

6. Đường cao

Định nghĩa: Đường cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Tính chất: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm.

7. Đường trung trực

Định nghĩa: Đường trung trực của một cạnh tam giác là đường thẳng vuông góc với cạnh đó tại trung điểm.

Tính chất: Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp.

✏️ Luyện tập

📝 II. LUYỆN TẬP - TRẮC NGHIỆM

Câu 1 / 10

Trung bình0 đã trả lời

Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là:

🌍 Vận dụng

🌍 III. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Bất đẳng thức tam giác

Kiểm tra xem ba độ dài sau có thể tạo thành tam giác không:

a) 3 cm, 4 cm, 5 cm

b) 2 cm, 3 cm, 6 cm

c) 5 cm, 5 cm, 8 cm

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $3 + 4 = 7 > 5$ , $4 + 5 = 9 > 3$ , $5 + 3 = 8 > 4$ ✓ Có thể tạo thành tam giác

b) $2 + 3 = 5 < 6$ ✗ Không thể tạo thành tam giác

c) $5 + 5 = 10 > 8$ , $5 + 8 = 13 > 5$ , $8 + 5 = 13 > 5$ ✓ Có thể tạo thành tam giác

Bài 2: Quan hệ góc và cạnh

Cho tam giác $A B C$ có $∠ A = 50°$ , $∠ B = 60°$ , $∠ C = 70°$ .

a) Sắp xếp các cạnh theo thứ tự tăng dần

b) Cạnh nào là cạnh lớn nhất?

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

a) $∠ A < ∠ B < ∠ C$ nên $B C < A C < A B$

b) Cạnh $A B$ là cạnh lớn nhất (đối diện với góc $C$ lớn nhất)

Bài 3: Đường trung tuyến

Cho tam giác $A B C$ có $M$ là trung điểm của $B C$ . Gọi $G$ là trọng tâm.

a) Nếu $A M = 9$ cm, tính $A G$ và $GM$

b) Nếu $A G = 6$ cm, tính $A M$ và $GM$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Trọng tâm chia đường trung tuyến thành hai phần: $A G = \frac{2}{3} A M$ , $GM = \frac{1}{3} A M$

a) $A G = \frac{2}{3} \times 9 = 6$ cm, $GM = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ cm

b) $A M = \frac{3}{2} \times 6 = 9$ cm, $GM = 9 - 6 = 3$ cm

Bài 4: Bài toán kết hợp

Cho tam giác $A B C$ có $A B = 5$ cm, $A C = 7$ cm. Tìm khoảng cách $B C$ có thể là bao nhiêu?

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Theo bất đẳng thức tam giác:

$∣ A B - A C ∣ < B C < A B + A C$

$∣5 - 7∣ < B C < 5 + 7$

$2 < B C < 12$

Vậy $B C$ có thể là bất kỳ giá trị nào trong khoảng $(2, 12)$ cm

Bài 5: Bài toán nâng cao (Câu lớn)

Cho tam giác $A B C$ có ba đường trung tuyến $A M$ , $B N$ , $C P$ đồng quy tại trọng tâm $G$ .

a) Nếu $A M = 12$ cm, tính $A G$ và $GM$

b) Nếu $B N = 15$ cm, tính $B G$ và $GN$

c) Nếu $C P = 18$ cm, tính $C G$ và $GP$

d) Tính tổng $A G + B G + C G$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $A G = \frac{2}{3} \times 12 = 8$ cm, $GM = 4$ cm

b) $B G = \frac{2}{3} \times 15 = 10$ cm, $GN = 5$ cm

c) $C G = \frac{2}{3} \times 18 = 12$ cm, $GP = 6$ cm

d) $A G + B G + C G = 8 + 10 + 12 = 30$ cm

Bài 6: Bài toán nâng cao (Câu lớn)

Cho tam giác $A B C$ có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm, $B C = 10$ cm.

a) Chứng minh tam giác $A B C$ là tam giác vuông

b) Tìm cạnh lớn nhất

c) Tính khoảng cách từ $A$ đến $B C$

d) Tính diện tích tam giác $A B C$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2} = B C^{2}$

Vậy tam giác $A B C$ là tam giác vuông tại $A$

b) Cạnh lớn nhất là $B C = 10$ cm (cạnh huyền)

c) Khoảng cách từ $A$ đến $B C$ = $\frac{A B \times A C}{B C} = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8$ cm

d) Diện tích = $\frac{1}{2} \times A B \times A C = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ (cm²)

⭐ Ghi nhớ

💡 Những điều cần ghi nhớ

Quan hệ góc-cạnh: Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
Bất đẳng thức tam giác: $a + b > c$ , $∣ a - b ∣ < c$
Đường vuông góc: Đoạn thẳng ngắn nhất từ điểm đến đường thẳng
Đường trung tuyến: Nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện
Trọng tâm: Giao điểm ba đường trung tuyến, chia mỗi đường thành tỉ lệ 2:1
Đường phân giác: Chia góc thành hai phần bằng nhau
Đường cao: Vuông góc từ đỉnh đến cạnh đối diện
Trực tâm: Giao điểm ba đường cao
Đường trung trực: Vuông góc với cạnh tại trung điểm
Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao điểm ba đường trung trực