🚀 Khởi động

🧮 Đơn thức — Khối xây dựng của đại số

Đơn thức là những biểu thức đơn giản nhất trong đại số, giống như những viên gạch để xây nên các công trình toán học phức tạp hơn!

📦

Diện tích hình chữ nhật

$S = xy$ (đơn thức bậc 2)

🎲

Thể tích hình hộp

$V = xyz$ (đơn thức bậc 3)

⚡

Công suất

$P = UI$ (đơn thức bậc 2)

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm đơn thức

Định nghĩa: Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm:

• Một số, hoặc
• Một biến, hoặc
• Tích của các số và các biến

Ví dụ các đơn thức:

Đơn thức	Phân tích
$5$	Số
$x$	Biến
$3x$	Tích của số và biến
$-2xy$	Tích của số và hai biến
$4x^2y^3$	Tích của số và các lũy thừa của biến
$\dfrac{1}{2}abc$	Tích của số và ba biến

Không phải đơn thức:

Biểu thức	Lý do
$x + y$	Có phép cộng
$2x - 3$	Có phép trừ
$\dfrac{x}{y}$	Có phép chia biến
$\sqrt{x}$	Có căn thức

🔍 2. Hệ số và phần biến

Mỗi đơn thức gồm hai phần:

Hệ số: Phần số của đơn thức

Phần biến: Phần chứa các biến và số mũ của chúng

Ví dụ phân tích:

Đơn thức	Hệ số	Phần biến
$5x^2y$	$5$	$x^2y$
$-3ab^2$	$-3$	$ab^2$
$\dfrac{2}{3}xyz$	$\dfrac{2}{3}$	$xyz$
$x^3$	$1$	$x^3$
$-y$	$-1$	$y$
$7$	$7$	(không có)

📊 3. Bậc của đơn thức

Bậc của đơn thức là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức.

Quy ước:

• Đơn thức hằng số khác 0 có bậc 0
• Đơn thức 0 không có bậc

Ví dụ tính bậc:

Đơn thức	Tính bậc	Bậc
$3x^2y$	$2 + 1 = 3$	$3$
$-5x^3y^2z$	$3 + 2 + 1 = 6$	$6$
$7xy^4$	$1 + 4 = 5$	$5$
$x^5$	$5$	$5$
$-8$	Hằng số	$0$

🔗 4. Đơn thức đồng dạng

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng phần biến (hoặc cả hai đều là hằng số).

Ví dụ:

Đồng dạng:

• $3x^2y$ và $-5x^2y$ (cùng phần biến $x^2y$)
• $7ab^2$ và $\dfrac{1}{2}ab^2$ (cùng phần biến $ab^2$)
• $5$ và $-3$ (cả hai đều là hằng số)

Không đồng dạng:

• $2x^2y$ và $2xy^2$ (phần biến khác nhau)
• $3ab$ và $3abc$ (số biến khác nhau)

➕ 5. Các phép toán với đơn thức

a) Cộng, trừ đơn thức đồng dạng:

Để cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) các hệ số và giữ nguyên phần biến.

$ax^my^n \pm bx^my^n = (a \pm b)x^my^n$

Ví dụ 1:

$5x^2y + 3x^2y = (5 + 3)x^2y = 8x^2y$

$7ab^2 - 10ab^2 = (7 - 10)ab^2 = -3ab^2$

b) Nhân đơn thức:

Để nhân hai đơn thức:

1. Nhân các hệ số với nhau
2. Nhân các biến giống nhau (cộng số mũ)

$(ax^m) \cdot (bx^n) = (a \cdot b)x^{m+n}$

Ví dụ 2:

$(3x^2y) \cdot (4xy^3) = (3 \cdot 4) \cdot x^{2+1} \cdot y^{1+3} = 12x^3y^4$

$(-2ab^2) \cdot (5a^3b) = (-2 \cdot 5) \cdot a^{1+3} \cdot b^{2+1} = -10a^4b^3$

c) Lũy thừa của đơn thức:

$(ax^m)^n = a^n \cdot x^{mn}$

Ví dụ 3:

$(2x^2y)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 8x^6y^3$

$(-3ab^2)^2 = (-3)^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 9a^2b^4$

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Biểu thức nào sau đây là đơn thức?

A$3x^2y$B$x + 2y$C$\dfrac{x}{y}$D$x^2 - 1$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một hình chữ nhật có chiều dài $3x$ cm và chiều rộng $2y$ cm. Tính diện tích.

Giải:

$S = 3x \cdot 2y = (3 \cdot 2) \cdot xy = 6xy$ (cm²)

Đây là đơn thức bậc 2 với hệ số 6.

📝 Bài toán 2: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước $2a$, $3b$, $4c$ (cm). Tính thể tích.

Giải:

$V = 2a \cdot 3b \cdot 4c = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot abc = 24abc$ (cm³)

Đây là đơn thức bậc 3 với hệ số 24.

📝 Bài toán 3: Một mảnh vườn hình vuông có cạnh $5x$ m. Người ta mở rộng mỗi cạnh thêm $2x$ m. Tính diện tích tăng thêm.

Giải:

Diện tích ban đầu: $S_1 = (5x)^2 = 25x^2$ (m²)

Cạnh mới: $5x + 2x = 7x$ (m)

Diện tích mới: $S_2 = (7x)^2 = 49x^2$ (m²)

Diện tích tăng: $S_2 - S_1 = 49x^2 - 25x^2 = 24x^2$ (m²)

⭐ Ghi nhớ

• Đơn thức: tích của số và biến
• Hệ số: phần số
• Phần biến: phần chứa biến
• Bậc: tổng số mũ của các biến
• Đồng dạng: cùng phần biến
• Cộng/trừ: chỉ với đơn thức đồng dạng
• Nhân: nhân hệ số, cộng số mũ

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho các biểu thức sau:

$A = 5x^2y$; $B = -3xy^2$; $C = \dfrac{2x}{y}$; $D = 7x^2y$; $E = \sqrt{x}y$

a) Biểu thức nào là đơn thức?

b) Biểu thức nào không phải là đơn thức? Vì sao?

c) Trong các đơn thức, đơn thức nào đồng dạng với nhau?

d) Tính tổng các đơn thức đồng dạng.

Bài 2: Cho đơn thức $M = -3x^2y^3z$

a) Xác định hệ số và phần biến của đơn thức $M$.

b) Tính bậc của đơn thức $M$.

c) Tính giá trị của $M$ khi $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$.

d) Tìm đơn thức $N$ biết $N$ đồng dạng với $M$ và có hệ số bằng $5$.

Bài 3: Thực hiện các phép tính:

a) $3x^2y + 5x^2y - 2x^2y$

b) $(2xy^2) \cdot (3x^2y)$

c) $(-5a^2b) \cdot (2ab^3)$

d) $(3x^2y)^2$

Bài 4: Cho hai đơn thức $A = 4x^3y^2$ và $B = -2xy$

a) Tính tích $A \cdot B$.

b) Tính bậc của đơn thức tích vừa tìm được.

c) Tìm đơn thức $C$ sao cho $A \cdot C = 12x^5y^4$.

d) Tính giá trị của biểu thức $A + 2B$ khi $x = 1$ và $y = -1$.

Bài 5: Cho hình chữ nhật có chiều dài $5x$ (cm) và chiều rộng $3y$ (cm).

a) Viết biểu thức tính chu vi hình chữ nhật.

b) Viết biểu thức tính diện tích hình chữ nhật.

c) Tính chu vi và diện tích khi $x = 2$ cm, $y = 3$ cm.

d) Nếu tăng chiều dài thêm $2x$ cm và chiều rộng thêm $y$ cm, diện tích tăng thêm bao nhiêu?

Bài 6 (Thực tế): Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài $4a$ (m), chiều rộng $3a$ (m) và chiều cao $2a$ (m).

a) Viết biểu thức tính thể tích bể nước.

b) Tính thể tích bể khi $a = 1{,}5$ m.

c) Nếu mỗi giờ bơm được $6a^2$ m³ nước, viết biểu thức tính thời gian bơm đầy bể.

d) Tính thời gian bơm đầy bể khi $a = 1{,}5$ m.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $A$, $B$, $D$ là đơn thức; b) $C$ (có phép chia biến), $E$ (có căn thức); c) $A$ và $D$ đồng dạng; d) $12x^2y$

Bài 2: a) Hệ số: $-3$, phần biến: $x^2y^3z$; b) Bậc: $6$; c) $M = 6$; d) $N = 5x^2y^3z$

Bài 3: a) $6x^2y$; b) $6x^3y^3$; c) $-10a^3b^4$; d) $9x^4y^2$

Bài 4: a) $-8x^4y^3$; b) Bậc $7$; c) $C = 3x^2y^2$; d) $8$

Bài 5: a) $P = 16x + 12y$ (cm); b) $S = 15xy$ (cm²); c) $P = 68$ cm, $S = 90$ cm²; d) Tăng $31xy$ cm²

Bài 6: a) $V = 24a^3$ (m³); b) $V = 81$ m³; c) $t = 4a$ (giờ); d) $t = 6$ giờ