🚀 Khởi động

🔬 Mở đầu — Hai cách tiếp cận xác suất

Có hai cách để xác định xác suất của một biến cố:

📐

Xác suất lý thuyết

Tính toán bằng công thức: $P(A) = \\dfrac{n(A)}{n(\\Omega)}$

🔬

Xác suất thực nghiệm

Thực hiện thí nghiệm và đếm: $P(A) \\approx \\dfrac{m}{n}$

💬 Khi số lần thực nghiệm đủ lớn, hai xác suất này rất gần nhau!

🔍 Khám phá

📖 1. Xác suất thực nghiệm

Định nghĩa: Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ được xác định bằng cách:

1. Thực hiện phép thử $n$ lần (trong cùng điều kiện)
2. Đếm số lần biến cố $A$ xảy ra: $m$ lần
3. Tính tỉ số:

$P_{tn}(A) = \frac{m}{n}$

trong đó:

• $n$: Tổng số lần thực nghiệm
• $m$: Số lần biến cố $A$ xảy ra

Ví dụ 1: Tung đồng xu 100 lần, xuất hiện mặt ngửa 52 lần. Tính xác suất thực nghiệm.

Giải:

• Tổng số lần tung: $n = 100$
• Số lần xuất hiện mặt ngửa: $m = 52$

$P_{tn}(A) = \frac{52}{100} = 0{,}52 = 52\%$

Ví dụ 2: Gieo xúc xắc 60 lần, xuất hiện mặt 6 là 9 lần. Tính xác suất thực nghiệm.

Giải:

• Tổng số lần gieo: $n = 60$
• Số lần xuất hiện mặt 6: $m = 9$

$P_{tn}(A) = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0{,}15 = 15\%$

📐 2. Xác suất lý thuyết

Định nghĩa: Xác suất lý thuyết (hay xác suất cổ điển) của biến cố $A$ được tính bằng công thức:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$

trong đó:

• $n(A)$: Số kết quả thuận lợi
• $n(\Omega)$: Tổng số kết quả có thể (đồng khả năng)

Ví dụ 3: So sánh xác suất lý thuyết và thực nghiệm khi tung đồng xu.

Xác suất lý thuyết:

$P(N) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$

Xác suất thực nghiệm (từ Ví dụ 1):

$P_{tn}(N) = 0{,}52 = 52\%$

Nhận xét: Hai xác suất gần nhau nhưng không hoàn toàn bằng nhau.

🔗 3. Mối liên hệ giữa hai xác suất

Luật số lớn: Khi số lần thực nghiệm $n$ càng lớn, xác suất thực nghiệm $P_{tn}(A)$ càng tiến gần đến xác suất lý thuyết $P(A)$.

$\lim_{n \to \infty} P_{tn}(A) = P(A)$

Ý nghĩa:

• Với số lần thực nghiệm nhỏ: Kết quả có thể chênh lệch nhiều
• Với số lần thực nghiệm lớn: Kết quả rất gần với lý thuyết

Ví dụ 4: Thực nghiệm tung đồng xu với số lần khác nhau:

Số lần tung	Số lần ngửa	Xác suất thực nghiệm	Chênh lệch với lý thuyết
10	6	$0{,}6$	$0{,}1$
100	52	$0{,}52$	$0{,}02$
1000	503	$0{,}503$	$0{,}003$
10000	5012	$0{,}5012$	$0{,}0012$

Xác suất lý thuyết: $P = 0{,}5$

Nhận xét: Số lần tung càng nhiều, xác suất thực nghiệm càng gần $0{,}5$.

💡 4. Ứng dụng của xác suất thực nghiệm

Khi nào dùng xác suất thực nghiệm?

1. Không tính được lý thuyết: Khi không biết tất cả kết quả có thể

   • Ví dụ: Tỷ lệ sản phẩm lỗi, xác suất mưa

2. Kiểm tra tính công bằng: Kiểm tra xúc xắc, đồng xu có cân đối không

3. Dự đoán thực tế: Dựa vào dữ liệu quá khứ để dự đoán tương lai

Ví dụ 5: Kiểm tra xúc xắc có cân đối không.

Gieo xúc xắc 600 lần, kết quả:

Mặt	1	2	3	4	5	6
Số lần	95	102	98	105	97	103
Xác suất TN	0,158	0,170	0,163	0,175	0,162	0,172

Xác suất lý thuyết: $P = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$

Kết luận: Các xác suất thực nghiệm đều gần $0{,}167$ → Xúc xắc cân đối.

Ví dụ 6: Dự đoán tỷ lệ sản phẩm lỗi.

Kiểm tra 500 sản phẩm, phát hiện 15 sản phẩm lỗi.

$P_{tn}(\text{lỗi}) = \frac{15}{500} = 0{,}03 = 3\%$

Dự đoán: Trong lô hàng 10000 sản phẩm, số sản phẩm lỗi khoảng:

$10000 \times 0{,}03 = 300 \text{ sản phẩm}$

⚖️ 5. So sánh hai loại xác suất

Tiêu chí	Xác suất lý thuyết	Xác suất thực nghiệm
Cách tính	Công thức toán học	Thực nghiệm và đếm
Điều kiện	Biết tất cả kết quả có thể	Có thể thực hiện thí nghiệm
Độ chính xác	Chính xác tuyệt đối	Phụ thuộc số lần thực nghiệm
Ưu điểm	Nhanh, chính xác	Áp dụng được mọi trường hợp
Nhược điểm	Không luôn tính được	Tốn thời gian, chi phí

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Tung đồng xu 100 lần, xuất hiện mặt ngửa 48 lần. Xác suất thực nghiệm là:

A$0{,}48$B$0{,}5$C$0{,}52$D$1$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Kiểm tra chất lượng:

Một nhà máy sản xuất bóng đèn. Kiểm tra ngẫu nhiên 200 bóng, phát hiện 6 bóng hỏng.

a) Tính xác suất thực nghiệm bóng đèn hỏng

b) Dự đoán số bóng hỏng trong lô 5000 bóng

Giải:

a) Xác suất thực nghiệm:

$P_{tn}(\text{hỏng}) = \frac{6}{200} = 0{,}03 = 3\%$

b) Số bóng hỏng dự đoán:

$5000 \times 0{,}03 = 150 \text{ bóng}$

---

📝 Bài toán 2 — Dự báo thời tiết:

Trong 100 ngày qua, có 25 ngày mưa. Dựa vào dữ liệu này:

a) Tính xác suất thực nghiệm trời mưa

b) Dự đoán số ngày mưa trong 30 ngày tới

Giải:

a) Xác suất thực nghiệm:

$P_{tn}(\text{mưa}) = \frac{25}{100} = 0{,}25 = 25\%$

b) Số ngày mưa dự đoán:

$30 \times 0{,}25 = 7{,}5 \approx 7-8 \text{ ngày}$

---

📝 Bài toán 3 — Khảo sát ý kiến:

Khảo sát 500 người về một sản phẩm, có 380 người hài lòng.

a) Tính xác suất thực nghiệm người hài lòng

b) Nếu có 10000 khách hàng, dự đoán số người hài lòng

Giải:

a) Xác suất thực nghiệm:

$P_{tn}(\text{hài lòng}) = \frac{380}{500} = 0{,}76 = 76\%$

b) Số người hài lòng dự đoán:

$10000 \times 0{,}76 = 7600 \text{ người}$

⭐ Ghi nhớ

• Xác suất thực nghiệm: $P_{tn}(A) = \dfrac{m}{n}$ (m: số lần xảy ra, n: tổng số lần)
• Xác suất lý thuyết: $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$
• Luật số lớn: $n$ càng lớn, $P_{tn}(A)$ càng gần $P(A)$
• Ứng dụng: Dự đoán, kiểm tra, ước lượng

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Tính xác suất thực nghiệm trong các trường hợp sau:

a) Tung đồng xu 50 lần, xuất hiện mặt ngửa 28 lần.

b) Gieo xúc xắc 60 lần, xuất hiện mặt 6 là 12 lần.

c) Rút bi 100 lần (có hoàn lại), lấy được bi đỏ 35 lần.

d) Bắn 40 phát, trúng đích 32 phát.

Bài 2 (Dễ): So sánh xác suất thực nghiệm với xác suất lý thuyết:

a) Tung đồng xu 100 lần, xuất hiện mặt ngửa 48 lần. So sánh với xác suất lý thuyết.

b) Gieo xúc xắc 120 lần, xuất hiện mặt chẵn 58 lần. So sánh với xác suất lý thuyết.

c) Nhận xét về sự chênh lệch giữa hai xác suất.

Bài 3 (Trung bình): Thực nghiệm với số lần khác nhau:

a) Tung đồng xu 10 lần, xuất hiện mặt ngửa 6 lần. Tính xác suất thực nghiệm.

b) Tung đồng xu 100 lần, xuất hiện mặt ngửa 52 lần. Tính xác suất thực nghiệm.

c) Tung đồng xu 1000 lần, xuất hiện mặt ngửa 503 lần. Tính xác suất thực nghiệm.

d) So sánh ba kết quả trên với xác suất lý thuyết. Rút ra nhận xét.

Bài 4 (Khá): Kiểm tra xúc xắc có cân đối không:

Gieo xúc xắc 300 lần, kết quả:

Mặt	1	2	3	4	5	6
Số lần	48	52	51	49	50	50

a) Tính xác suất thực nghiệm cho mỗi mặt.

b) So sánh với xác suất lý thuyết $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.

c) Xúc xắc có cân đối không? Giải thích.

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế):

a) Kiểm tra chất lượng sản phẩm:

• Kiểm tra 500 sản phẩm, phát hiện 18 sản phẩm lỗi.
• Tính xác suất thực nghiệm sản phẩm lỗi.
• Dự đoán số sản phẩm lỗi trong lô 10000 sản phẩm.

b) Dự báo thời tiết:

• Trong 200 ngày qua, có 45 ngày mưa.
• Tính xác suất thực nghiệm trời mưa.
• Dự đoán số ngày mưa trong 60 ngày tới.

c) Khảo sát ý kiến:

• Khảo sát 800 người về một sản phẩm, có 640 người hài lòng.
• Tính xác suất thực nghiệm người hài lòng.
• Nếu có 50000 khách hàng, dự đoán số người hài lòng.

d) Thống kê giao thông:

• Quan sát 1000 xe qua trạm, có 350 xe ô tô, 450 xe máy, 200 xe khác.
• Tính xác suất thực nghiệm cho mỗi loại xe.
• Dự đoán số xe mỗi loại trong 5000 xe tiếp theo.

e) Bắn súng:

• Một vận động viên bắn 200 phát, trúng đích 165 phát.
• Tính xác suất thực nghiệm trúng đích.
• Nếu bắn 50 phát nữa, dự đoán số phát trúng đích.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $0{,}56$; b) $0{,}2$; c) $0{,}35$; d) $0{,}8$

Bài 2: a) $P_{tn} = 0{,}48$, $P = 0{,}5$, chênh $0{,}02$; b) $P_{tn} = 0{,}483$, $P = 0{,}5$, chênh $0{,}017$; c) Chênh lệch nhỏ, gần với lý thuyết

Bài 3: a) $0{,}6$; b) $0{,}52$; c) $0{,}503$; d) Càng nhiều lần, càng gần $0{,}5$

Bài 4: a) 0,16; 0,173; 0,17; 0,163; 0,167; 0,167; b) Tất cả đều gần $0{,}167$; c) Có, vì các xác suất gần nhau

Bài 5: a) $0{,}036$, khoảng 360 sản phẩm; b) $0{,}225$, khoảng 13-14 ngày; c) $0{,}8$, khoảng 40000 người; d) Ô tô: 0,35 (1750 xe), Xe máy: 0,45 (2250 xe), Khác: 0,2 (1000 xe); e) $0{,}825$, khoảng 41 phát