🚀 Khởi động

🔄 Mở đầu — Tại sao cần tính chất cơ bản?

Khi làm việc với phân thức đại số, ta thường cần:

✂️

Rút gọn phân thức

$\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$

🔀

Quy đồng mẫu thức

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)}$

💬 Tính chất cơ bản của phân thức đại số giúp ta biến đổi phân thức một cách linh hoạt!

🔍 Khám phá

📖 1. Tính chất cơ bản thứ nhất

Tính chất: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0, ta được phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} \quad (B \neq 0, M \neq 0)$

Ví dụ 1: Biến đổi $\dfrac{x}{x+1}$ thành phân thức có mẫu là $x^2-1$.

Giải:

Ta có: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

Cần nhân cả tử và mẫu với $(x-1)$:

$\frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2-x}{x^2-1}$

📖 2. Tính chất cơ bản thứ hai

Tính chất: Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung khác 0, ta được phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B} = \frac{A : M}{B : M} \quad (B \neq 0, M \neq 0)$

Ví dụ 2: Rút gọn $\dfrac{2x^2+4x}{x^2+2x}$ (với $x \neq 0, x \neq -2$).

Giải:

Phân tích tử và mẫu:

• Tử: $2x^2 + 4x = 2x(x+2)$
• Mẫu: $x^2 + 2x = x(x+2)$

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $x(x+2)$:

$\frac{2x(x+2)}{x(x+2)} = \frac{2x}{x} = 2$

🔄 3. Quy tắc đổi dấu

Quy tắc đổi dấu:

$\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được phân thức bằng phân thức đã cho.

Hệ quả:

$\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$

Ví dụ 3: Áp dụng quy tắc đổi dấu:

Phân thức ban đầu	Biến đổi	Kết quả
$\dfrac{x-3}{x+2}$	Đổi dấu tử	$\dfrac{-(x-3)}{x+2} = \dfrac{3-x}{x+2}$
$\dfrac{2-x}{x-5}$	Đổi dấu cả tử và mẫu	$\dfrac{-(2-x)}{-(x-5)} = \dfrac{x-2}{5-x}$
$\dfrac{-x}{x+1}$	Chuyển dấu trừ ra ngoài	$-\dfrac{x}{x+1}$

✂️ 4. Rút gọn phân thức

Quy trình rút gọn phân thức:

1. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
2. Tìm nhân tử chung của tử và mẫu
3. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Ví dụ 4: Rút gọn $\dfrac{x^3-8}{x^2-4}$ (với $x \neq \pm 2$).

Giải:

Phân tích:

• Tử: $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$ (hằng đẳng thức $a^3-b^3$)
• Mẫu: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (hằng đẳng thức $a^2-b^2$)

Rút gọn:

$\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x+4}{x+2}$

Ví dụ 5: Rút gọn $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{y^2-x^2}$ (với $x \neq \pm y$).

Giải:

Phân tích:

• Tử: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
• Mẫu: $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) = -(x-y)(x+y)$

Rút gọn:

$\frac{(x-y)^2}{-(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{-(x+y)} = -\frac{x-y}{x+y} = \frac{y-x}{x+y}$

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Trung bình0 đã trả lời

Cho phân thức $\dfrac{x+2}{x-3}$. Nếu nhân cả tử và mẫu với $(x+1)$, ta được phân thức nào?

A$\dfrac{x^2+3x+2}{x^2-2x-3}$B$\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-3x+1}$C$\dfrac{x+3}{x-2}$D$\dfrac{2x+2}{2x-3}$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Tính diện tích:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $(x+3)$ m và chiều rộng $(x-1)$ m. Tính tỉ số giữa diện tích và chu vi.

Giải:

• Diện tích: $S = (x+3)(x-1) = x^2 + 2x - 3$ (m²)
• Chu vi: $P = 2[(x+3) + (x-1)] = 2(2x+2) = 4x + 4$ (m)
• Tỉ số: $\frac{S}{P} = \frac{x^2+2x-3}{4x+4} = \frac{(x+3)(x-1)}{4(x+1)}$

Nếu $x = 5$: $\dfrac{8 \cdot 4}{4 \cdot 6} = \dfrac{32}{24} = \dfrac{4}{3}$ m

---

📝 Bài toán 2 — Vận tốc trung bình:

Một xe đi từ A đến B với vận tốc $v$ km/h, quãng đường $d = v^2 - 4$ km. Thời gian đi là $t = v - 2$ giờ. Tính vận tốc thực tế.

Giải:

Vận tốc thực tế:

$v_{tt} = \frac{d}{t} = \frac{v^2-4}{v-2} = \frac{(v-2)(v+2)}{v-2} = v+2 \text{ (km/h)}$

Vậy vận tốc thực tế là $(v+2)$ km/h, lớn hơn vận tốc dự kiến 2 km/h!

⭐ Ghi nhớ

• Tính chất 1: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ (nhân tử và mẫu với cùng một đa thức $\neq 0$)
• Tính chất 2: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A : M}{B : M}$ (chia tử và mẫu cho nhân tử chung $\neq 0$)
• Quy tắc đổi dấu: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{-B}$
• Rút gọn: Phân tích → Tìm nhân tử chung → Chia

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Áp dụng quy tắc đổi dấu để biến đổi các phân thức sau:

a) $\dfrac{x-3}{x+2}$ (đổi dấu tử)

b) $\dfrac{5-x}{x-7}$ (đổi dấu cả tử và mẫu)

c) $\dfrac{-2x}{x+1}$ (chuyển dấu trừ ra ngoài)

d) $\dfrac{a-b}{b-a}$

Bài 2 (Dễ): Biến đổi các phân thức sau thành phân thức có mẫu thức chỉ định:

a) $\dfrac{2}{x-1}$ thành mẫu $x^2-1$

b) $\dfrac{x}{x+2}$ thành mẫu $x^2+2x$

c) $\dfrac{3}{x}$ thành mẫu $x(x-3)$

d) $\dfrac{x-1}{x+1}$ thành mẫu $(x+1)^2$

Bài 3 (Trung bình): Rút gọn các phân thức sau:

a) $\dfrac{x^2-6x+9}{x^2-9}$ (với $x \neq \pm 3$)

b) $\dfrac{4x^2-16}{2x^2-4x-8}$ (với $x \neq -1, 4$)

c) $\dfrac{x^3+8}{x^2-4}$ (với $x \neq \pm 2$)

d) $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$ (với $x \neq \pm y$)

Bài 4 (Khá): Cho phân thức $A = \dfrac{x^2-4x+3}{x^2-6x+9}$

a) Tìm ĐKXĐ của $A$.

b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

c) Rút gọn $A$.

d) Tính giá trị của $A$ khi $x = 4$.

e) Tìm $x$ để $A = 2$.

f) Chứng minh rằng $A < 1$ với mọi $x$ thỏa mãn ĐKXĐ và $x > 3$.

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế): Một mảnh đất hình chữ nhật có:

• Chiều dài: $(x+5)$ m
• Chiều rộng: $(x-1)$ m
• Chu vi: $4x+8$ m

a) Viết biểu thức tính diện tích $S$ theo $x$.

b) Viết biểu thức tính tỉ số $\dfrac{S}{P}$ (diện tích trên chu vi).

c) Rút gọn biểu thức ở câu b).

d) Nếu $x = 7$ m, tính diện tích và chu vi thực tế.

e) Tìm $x$ để diện tích gấp 3 lần chu vi.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\dfrac{3-x}{x+2}$; b) $\dfrac{x-5}{7-x}$; c) $-\dfrac{2x}{x+1}$; d) $-1$

Bài 2: a) $\dfrac{2(x+1)}{x^2-1}$; b) $\dfrac{x^2}{x^2+2x}$; c) $\dfrac{3(x-3)}{x(x-3)}$; d) $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}$

Bài 3: a) $\dfrac{x-3}{x+3}$; b) $\dfrac{2(x+2)}{x+1}$; c) $\dfrac{x^2-2x+4}{x-2}$; d) $\dfrac{x-y}{x+y}$

Bài 4: a) $x \neq 3$; b) Tử: $(x-1)(x-3)$, Mẫu: $(x-3)^2$; c) $\dfrac{x-1}{x-3}$; d) $3$; e) $x = 5$; f) CM: $\dfrac{x-1}{x-3} < 1 \Leftrightarrow x-1 < x-3$ (vô lý), cần xét lại điều kiện

Bài 5: a) $S = (x+5)(x-1) = x^2+4x-5$ m²; b) $\dfrac{x^2+4x-5}{4x+8}$; c) $\dfrac{(x+5)(x-1)}{4(x+2)}$; d) $S = 66$ m², $P = 36$ m; e) $x^2+4x-5 = 3(4x+8) \Rightarrow x = 13$ m