Lớp 8 · Chương 6: Phân thức đại số

Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

🚀 Khởi động

➕ Mở đầu — Tại sao cần cộng trừ phân thức?

Trong thực tế, nhiều bài toán yêu cầu cộng trừ các biểu thức có biến ở mẫu:

⏱️

Bài toán thời gian

Hai người làm chung: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$

⚡

Điện trở song song

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

💬 Để cộng trừ phân thức, ta cần quy đồng mẫu thức — giống như cộng trừ phân số!

🔍 Khám phá

📖 1. Cộng trừ phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}$

$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$

Ví dụ 1: Tính $\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{3}{x - 2}$ (với $x \neq = 2$ ).

Giải:

$\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} = \frac{( x + 1 ) + 3}{x - 2} = \frac{x + 4}{x - 2}$

Ví dụ 2: Tính $\frac{2 x}{x ^{2} - 1} - \frac{x - 1}{x ^{2} - 1}$ (với $x \neq = \pm 1$ ).

Giải:

$\frac{2 x}{x ^{2} - 1} - \frac{x - 1}{x ^{2} - 1} = \frac{2 x - ( x - 1 )}{x ^{2} - 1} = \frac{2 x - x + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 1}{x ^{2} - 1}$

Rút gọn: $\frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{x - 1}$

🔄 2. Quy đồng mẫu thức

Quy trình quy đồng mẫu thức:

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử
Tìm MTC (Mẫu Thức Chung): tích các nhân tử chung và riêng với số mũ cao nhất
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu: MTC chia cho mẫu đó
Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ 3: Quy đồng mẫu thức: $\frac{1}{x - 1}$ và $\frac{2}{x + 1}$ .

Giải:

Bước 1: Các mẫu đã phân tích: $(x - 1)$ và $(x + 1)$

Bước 2: MTC = $(x - 1) (x + 1)$

Bước 3: Nhân tử phụ:

Của $\frac{1}{x - 1}$ : $(x + 1)$
Của $\frac{2}{x + 1}$ : $(x - 1)$

Bước 4: Quy đồng:

$\frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$

$\frac{2}{x + 1} = \frac{2 \cdot ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{2 x - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$

🔍 Thực hành: Tìm Mẫu Thức Chung (MTC)

và

➕ 3. Cộng trừ phân thức khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có mẫu thức khác nhau:

Quy đồng mẫu thức
Cộng (hoặc trừ) các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được

Ví dụ 4: Tính $\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1}$ (với $x \neq = 0, x \neq = - 1$ ).

Giải:

Bước 1: MTC = $x (x + 1)$

Bước 2: Quy đồng:

$\frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x ( x + 1 )}, \frac{2}{x + 1} = \frac{2 x}{x ( x + 1 )}$

Bước 3: Cộng:

$\frac{x + 1}{x ( x + 1 )} + \frac{2 x}{x ( x + 1 )} = \frac{x + 1 + 2 x}{x ( x + 1 )} = \frac{3 x + 1}{x ( x + 1 )}$

Ví dụ 5: Tính $\frac{x}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2}$ (với $x \neq = \pm 2$ ).

Giải:

Bước 1: Phân tích: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$

MTC = $(x - 2) (x + 2)$

Bước 2: Quy đồng:

$\frac{x}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{x + 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$

Bước 3: Trừ:

$\frac{x - ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{- 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{- 2}{x ^{2} - 4}$

➕➖ Thực hành: Cộng trừ phân thức đại số

🎯 4. Ví dụ phức tạp

Ví dụ 6: Tính $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1}$ (với $x \neq = \pm 1$ ).

Giải:

Bước 1: Phân tích: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$

MTC = $(x - 1) (x + 1)$

Bước 2: Quy đồng:

$\frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$

Bước 3: Tính:

$\frac{( x + 1 ) - 2 + ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1 - 2 + x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$

Bước 4: Rút gọn:

$\frac{2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2}{x + 1}$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Tính $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x}$ (với $x \neq 0$ ):

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Làm việc chung:

Người thứ nhất làm xong công việc trong $x$ giờ, người thứ hai trong $y$ giờ. Hỏi hai người làm chung trong 1 giờ được bao nhiêu phần công việc?

Giải:

Trong 1 giờ:

Người 1 làm được: $\frac{1}{x}$ công việc
Người 2 làm được: $\frac{1}{y}$ công việc
Cả hai: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{x y} + \frac{x}{x y} = \frac{x + y}{x y} (c \overset{o}{ˆ} ng việc)$

Nếu $x = 6$ giờ, $y = 4$ giờ: $\frac{6 + 4}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ công việc/giờ

Thời gian hoàn thành: $\frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} = 2, 4$ giờ

📝 Bài toán 2 — Điện trở song song:

Hai điện trở $R_{1} = x$ Ω và $R_{2} = x + 2$ Ω mắc song song. Tính điện trở tương đương.

Giải:

Công thức: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

$\frac{1}{R} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{x + 2}{x ( x + 2 )} + \frac{x}{x ( x + 2 )} = \frac{2 x + 2}{x ( x + 2 )}$

$R = \frac{x ( x + 2 )}{2 x + 2} = \frac{x ( x + 2 )}{2 ( x + 1 )} (Ω)$

Nếu $x = 4$ Ω: $R = \frac{4 \cdot 6}{2 \cdot 5} = \frac{24}{10} = 2, 4$ Ω

⭐ Ghi nhớ

Cùng mẫu: $\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$
Quy đồng: Phân tích → Tìm MTC → Nhân tử phụ → Quy đồng
Khác mẫu: Quy đồng → Cộng/trừ → Rút gọn (nếu có)
Lưu ý: Luôn ghi ĐKXĐ và rút gọn kết quả cuối

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Thực hiện phép tính (các phân thức cùng mẫu):

a) $\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$ (với $x \neq = - 1$ )

b) $\frac{x + 5}{x - 2} - \frac{3}{x - 2}$ (với $x \neq = 2$ )

c) $\frac{2 x}{x ^{2} - 1} + \frac{x - 1}{x ^{2} - 1}$ (với $x \neq = \pm 1$ )

d) $\frac{x ^{2}}{x + 3} - \frac{9}{x + 3}$ (với $x \neq = - 3$ )

Bài 2 (Trung bình): Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{x - 2}$ và $\frac{1}{x + 2}$

b) $\frac{2}{x}$ và $\frac{3}{x ^{2} - x}$

c) $\frac{x}{x ^{2} - 4}$ và $\frac{1}{x - 2}$

d) $\frac{1}{x - 1}$ , $\frac{2}{x + 1}$ và $\frac{3}{x ^{2} - 1}$

Bài 3 (Trung bình): Thực hiện phép tính:

a) $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$ (với $x \neq = 0, - 1$ )

b) $\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 3}$ (với $x \neq = \pm 3$ )

c) $\frac{1}{x ^{2} - 1} + \frac{1}{x - 1}$ (với $x \neq = \pm 1$ )

d) $\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{x - 1}{x + 2}$ (với $x \neq = \pm 2$ )

Bài 4 (Khá): Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1}$ (với $x \neq = \pm 1$ )

b) $\frac{x}{x ^{2} - 4} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$ (với $x \neq = \pm 2$ )

c) $\frac{2 x}{x ^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3}$ (với $x \neq = \pm 3$ )

d) $\frac{x + 2}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$ (với $x \neq = \pm 1$ )

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế): Hai công nhân A và B cùng làm một công việc:

Người A làm một mình xong trong $x$ ngày
Người B làm một mình xong trong $y$ ngày

a) Viết biểu thức tính phần công việc mỗi người làm được trong 1 ngày.

b) Viết biểu thức tính phần công việc cả hai người làm được trong 1 ngày khi làm chung.

c) Rút gọn biểu thức ở câu b).

d) Viết biểu thức tính thời gian hoàn thành công việc khi hai người làm chung.

e) Nếu A làm trong 6 ngày và B làm trong 4 ngày, tính thời gian làm chung.

f) Nếu làm chung trong 2,4 ngày thì xong, và A làm nhanh hơn B 2 ngày, tìm thời gian mỗi người làm riêng.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\frac{5}{x + 1}$ ; b) $\frac{x + 2}{x - 2}$ ; c) $\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 1}$ ; d) $x - 3$

Bài 2: a) MTC = $(x - 2) (x + 2)$ ; b) MTC = $x (x - 1)$ ; c) MTC = $(x - 2) (x + 2)$ ; d) MTC = $(x - 1) (x + 1)$

Bài 3: a) $\frac{5 x + 3}{x ( x + 1 )}$ ; b) $\frac{x ^{2} + x + 6}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$ ; c) $\frac{x + 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$ ; d) $\frac{4 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$

Bài 4: a) $\frac{2}{x + 1}$ ; b) $\frac{x}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$ ; c) $0$ ; d) $\frac{2}{x + 1}$

Bài 5: a) A: $\frac{1}{x}$ , B: $\frac{1}{y}$ ; b) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ; c) $\frac{x + y}{x y}$ ; d) $\frac{x y}{x + y}$ ngày; e) $2, 4$ ngày; f) A: 4 ngày, B: 6 ngày