🚀 Khởi động

➕ Mở đầu — Tại sao cần cộng trừ phân thức?

Trong thực tế, nhiều bài toán yêu cầu cộng trừ các biểu thức có biến ở mẫu:

⏱️

Bài toán thời gian

Hai người làm chung: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}$

⚡

Điện trở song song

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

💬 Để cộng trừ phân thức, ta cần quy đồng mẫu thức — giống như cộng trừ phân số!

🔍 Khám phá

📖 1. Cộng trừ phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$

$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$

Ví dụ 1: Tính $\dfrac{x+1}{x-2} + \dfrac{3}{x-2}$ (với $x \neq 2$).

Giải:

$\frac{x+1}{x-2} + \frac{3}{x-2} = \frac{(x+1)+3}{x-2} = \frac{x+4}{x-2}$

Ví dụ 2: Tính $\dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{x-1}{x^2-1}$ (với $x \neq \pm 1$).

Giải:

$\frac{2x}{x^2-1} - \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{2x-(x-1)}{x^2-1} = \frac{2x-x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{x^2-1}$

Rút gọn: $\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$

🔄 2. Quy đồng mẫu thức

Quy trình quy đồng mẫu thức:

1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử
2. Tìm MTC (Mẫu Thức Chung): tích các nhân tử chung và riêng với số mũ cao nhất
3. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu: MTC chia cho mẫu đó
4. Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ 3: Quy đồng mẫu thức: $\dfrac{1}{x-1}$ và $\dfrac{2}{x+1}$.

Giải:

Bước 1: Các mẫu đã phân tích: $(x-1)$ và $(x+1)$

Bước 2: MTC = $(x-1)(x+1)$

Bước 3: Nhân tử phụ:

• Của $\dfrac{1}{x-1}$: $(x+1)$
• Của $\dfrac{2}{x+1}$: $(x-1)$

Bước 4: Quy đồng:

$\frac{1}{x-1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

$\frac{2}{x+1} = \frac{2 \cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2}{(x-1)(x+1)}$

🔍 Thực hành: Tìm Mẫu Thức Chung (MTC)

và

➕ 3. Cộng trừ phân thức khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có mẫu thức khác nhau:

1. Quy đồng mẫu thức
2. Cộng (hoặc trừ) các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được

Ví dụ 4: Tính $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x+1}$ (với $x \neq 0, x \neq -1$).

Giải:

Bước 1: MTC = $x(x+1)$

Bước 2: Quy đồng:

$\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x(x+1)}, \quad \frac{2}{x+1} = \frac{2x}{x(x+1)}$

Bước 3: Cộng:

$\frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} = \frac{x+1+2x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)}$

Ví dụ 5: Tính $\dfrac{x}{x^2-4} - \dfrac{1}{x-2}$ (với $x \neq \pm 2$).

Giải:

Bước 1: Phân tích: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$

MTC = $(x-2)(x+2)$

Bước 2: Quy đồng:

$\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$

Bước 3: Trừ:

$\frac{x-(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-2}{x^2-4}$

➕➖ Thực hành: Cộng trừ phân thức đại số

+

🎯 4. Ví dụ phức tạp

Ví dụ 6: Tính $\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x^2-1} + \dfrac{1}{x+1}$ (với $x \neq \pm 1$).

Giải:

Bước 1: Phân tích: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$

MTC = $(x-1)(x+1)$

Bước 2: Quy đồng:

$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$

Bước 3: Tính:

$\frac{(x+1) - 2 + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1-2+x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-2}{(x-1)(x+1)}$

Bước 4: Rút gọn:

$\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x+1}$

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Tính $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x}$ (với $x \neq 0$):

A$\dfrac{5}{x}$B$\dfrac{5}{2x}$C$\dfrac{6}{x^2}$D$\dfrac{2+3}{x+x}$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Làm việc chung:

Người thứ nhất làm xong công việc trong $x$ giờ, người thứ hai trong $y$ giờ. Hỏi hai người làm chung trong 1 giờ được bao nhiêu phần công việc?

Giải:

Trong 1 giờ:

• Người 1 làm được: $\dfrac{1}{x}$ công việc
• Người 2 làm được: $\dfrac{1}{y}$ công việc
• Cả hai: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy} \text{ (công việc)}$

Nếu $x = 6$ giờ, $y = 4$ giờ: $\dfrac{6+4}{24} = \dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}$ công việc/giờ

Thời gian hoàn thành: $\dfrac{1}{\frac{5}{12}} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ giờ

---

📝 Bài toán 2 — Điện trở song song:

Hai điện trở $R_1 = x$ Ω và $R_2 = x+2$ Ω mắc song song. Tính điện trở tương đương.

Giải:

Công thức: $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$

$\frac{1}{R} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{x(x+2)} + \frac{x}{x(x+2)} = \frac{2x+2}{x(x+2)}$

$R = \frac{x(x+2)}{2x+2} = \frac{x(x+2)}{2(x+1)} \text{ (Ω)}$

Nếu $x = 4$ Ω: $R = \dfrac{4 \cdot 6}{2 \cdot 5} = \dfrac{24}{10} = 2{,}4$ Ω

⭐ Ghi nhớ

• Cùng mẫu: $\dfrac{A}{C} \pm \dfrac{B}{C} = \dfrac{A \pm B}{C}$
• Quy đồng: Phân tích → Tìm MTC → Nhân tử phụ → Quy đồng
• Khác mẫu: Quy đồng → Cộng/trừ → Rút gọn (nếu có)
• Lưu ý: Luôn ghi ĐKXĐ và rút gọn kết quả cuối

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Thực hiện phép tính (các phân thức cùng mẫu):

a) $\dfrac{3}{x+1} + \dfrac{2}{x+1}$ (với $x \neq -1$)

b) $\dfrac{x+5}{x-2} - \dfrac{3}{x-2}$ (với $x \neq 2$)

c) $\dfrac{2x}{x^2-1} + \dfrac{x-1}{x^2-1}$ (với $x \neq \pm 1$)

d) $\dfrac{x^2}{x+3} - \dfrac{9}{x+3}$ (với $x \neq -3$)

Bài 2 (Trung bình): Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\dfrac{1}{x-2}$ và $\dfrac{1}{x+2}$

b) $\dfrac{2}{x}$ và $\dfrac{3}{x^2-x}$

c) $\dfrac{x}{x^2-4}$ và $\dfrac{1}{x-2}$

d) $\dfrac{1}{x-1}$, $\dfrac{2}{x+1}$ và $\dfrac{3}{x^2-1}$

Bài 3 (Trung bình): Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x+1}$ (với $x \neq 0, -1$)

b) $\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{2}{x+3}$ (với $x \neq \pm 3$)

c) $\dfrac{1}{x^2-1} + \dfrac{1}{x-1}$ (với $x \neq \pm 1$)

d) $\dfrac{x+1}{x-2} - \dfrac{x-1}{x+2}$ (với $x \neq \pm 2$)

Bài 4 (Khá): Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x^2-1} + \dfrac{1}{x+1}$ (với $x \neq \pm 1$)

b) $\dfrac{x}{x^2-4} + \dfrac{1}{x-2} - \dfrac{1}{x+2}$ (với $x \neq \pm 2$)

c) $\dfrac{2x}{x^2-9} - \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x+3}$ (với $x \neq \pm 3$)

d) $\dfrac{x+2}{x^2-1} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}$ (với $x \neq \pm 1$)

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế): Hai công nhân A và B cùng làm một công việc:

• Người A làm một mình xong trong $x$ ngày
• Người B làm một mình xong trong $y$ ngày

a) Viết biểu thức tính phần công việc mỗi người làm được trong 1 ngày.

b) Viết biểu thức tính phần công việc cả hai người làm được trong 1 ngày khi làm chung.

c) Rút gọn biểu thức ở câu b).

d) Viết biểu thức tính thời gian hoàn thành công việc khi hai người làm chung.

e) Nếu A làm trong 6 ngày và B làm trong 4 ngày, tính thời gian làm chung.

f) Nếu làm chung trong 2,4 ngày thì xong, và A làm nhanh hơn B 2 ngày, tìm thời gian mỗi người làm riêng.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\dfrac{5}{x+1}$; b) $\dfrac{x+2}{x-2}$; c) $\dfrac{3x-1}{x^2-1}$; d) $x-3$

Bài 2: a) MTC = $(x-2)(x+2)$; b) MTC = $x(x-1)$; c) MTC = $(x-2)(x+2)$; d) MTC = $(x-1)(x+1)$

Bài 3: a) $\dfrac{5x+3}{x(x+1)}$; b) $\dfrac{x^2+x+6}{(x-3)(x+3)}$; c) $\dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)}$; d) $\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}$

Bài 4: a) $\dfrac{2}{x+1}$; b) $\dfrac{x}{(x-2)(x+2)}$; c) $0$; d) $\dfrac{2}{x+1}$

Bài 5: a) A: $\dfrac{1}{x}$, B: $\dfrac{1}{y}$; b) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$; c) $\dfrac{x+y}{xy}$; d) $\dfrac{xy}{x+y}$ ngày; e) $2{,}4$ ngày; f) A: 4 ngày, B: 6 ngày