Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

🚀 Khởi động

🔍 Mở đầu

Giống như tam giác bằng nhau có 3 trường hợp (c.c.c, c.g.c, g.c.g), tam giác đồng dạng cũng có 3 trường hợp tương tự để nhận biết nhanh!

🔍 Khám phá

📖 1. Trường hợp c.c.c (cạnh - cạnh - cạnh)

Định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

ABA′B′=BCB′C′=CAC′A′⇒△ABC∼△A′B′C′\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'

Ví dụ 1: Cho △ABC\triangle ABC có AB=6AB = 6, BC=9BC = 9, CA=12CA = 12 và △DEF\triangle DEF có DE=4DE = 4, EF=6EF = 6, FD=8FD = 8. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Giải:

Xét tỉ số các cạnh:

ABDE=64=32\frac{AB}{DE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} BCEF=96=32\frac{BC}{EF} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} CAFD=128=32\frac{CA}{FD} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

Ba cạnh tỉ lệ với nhau nên △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF (c.c.c)

📖 2. Trường hợp c.g.c (cạnh - góc - cạnh)

Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.

ABA′B′=ACA′C′ vaˋ A^=A′^⇒△ABC∼△A′B′C′\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} \text{ và } \widehat{A} = \widehat{A'} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'

Ví dụ 2: Cho △ABC\triangle ABC có AB=8AB = 8, AC=12AC = 12, A^=60°\widehat{A} = 60° và △MNP\triangle MNP có MN=6MN = 6, MP=9MP = 9, M^=60°\widehat{M} = 60°. Chứng minh đồng dạng.

Giải:

Xét tỉ số:

ABMN=86=43\frac{AB}{MN} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} ACMP=129=43\frac{AC}{MP} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

Và A^=M^=60°\widehat{A} = \widehat{M} = 60°

Vậy △ABC∼△MNP\triangle ABC \sim \triangle MNP (c.g.c)

📖 3. Trường hợp g.g (góc - góc)

Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

A^=A′^ vaˋ B^=B′^⇒△ABC∼△A′B′C′\widehat{A} = \widehat{A'} \text{ và } \widehat{B} = \widehat{B'} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'

Lưu ý: Chỉ cần 2 góc bằng nhau vì góc thứ 3 tự động bằng nhau (tổng 3 góc = 180°).

Ví dụ 3: Cho △ABC\triangle ABC có A^=50°\widehat{A} = 50°, B^=70°\widehat{B} = 70° và △DEF\triangle DEF có D^=50°\widehat{D} = 50°, E^=70°\widehat{E} = 70°. Chứng minh đồng dạng.

Giải:

Ta có: A^=D^=50°\widehat{A} = \widehat{D} = 50° và B^=E^=70°\widehat{B} = \widehat{E} = 70°

Vậy △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF (g.g)

Kiểm tra: C^=180°−50°−70°=60°\widehat{C} = 180° - 50° - 70° = 60° và F^=180°−50°−70°=60°\widehat{F} = 180° - 50° - 70° = 60° ✓

⚖️ 4. So sánh các trường hợp

Trường hợpĐiều kiệnDễ áp dụngGhi chú
c.c.c3 cạnh tỉ lệ⭐⭐Cần tính 3 tỉ số
c.g.c2 cạnh tỉ lệ + góc xen giữa⭐⭐⭐Thường dùng nhất
g.g2 góc bằng nhau⭐⭐⭐⭐Dễ nhất, chỉ cần góc

✏️ 5. Ví dụ tổng hợp

Ví dụ 4: Cho △ABC\triangle ABC có AB=10AB = 10 cm, AC=15AC = 15 cm, A^=45°\widehat{A} = 45°. Tìm độ dài các cạnh của △DEF\triangle DEF đồng dạng với △ABC\triangle ABC biết DE=6DE = 6 cm và D^=45°\widehat{D} = 45°.

Giải:

Tỉ số đồng dạng:

k=ABDE=106=53k = \frac{AB}{DE} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

Tính DFDF:

ACDF=k⇒DF=ACk=1553=15×35=9 cm\frac{AC}{DF} = k \Rightarrow DF = \frac{AC}{k} = \frac{15}{\frac{5}{3}} = 15 \times \frac{3}{5} = 9 \text{ cm}

Để tính EFEF, cần biết BCBC (không đủ dữ liệu).

✏️ Luyện tập
Câu 1 / 8
Dễ0 đã trả lời

Hai tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ thì:
🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng

📝 Bài toán: Một cột đèn cao 6 m đặt cách tường 4 m. Bóng của cột trên tường cao 3 m. Tính khoảng cách từ chân tường đến đỉnh bóng trên mặt đất.

Giải:

Hai tam giác tạo bởi cột đèn và bóng đồng dạng (g.g - cùng góc vuông và góc tia sáng).

Áp dụng tỉ lệ: 63=4x\dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{x}

x=3×46=2 mx = \frac{3 \times 4}{6} = 2 \text{ m}

⭐ Ghi nhớ
  • c.c.c: Ba cạnh tỉ lệ
  • c.g.c: Hai cạnh tỉ lệ, góc xen giữa bằng nhau
  • g.g: Hai góc bằng nhau
  • Trường hợp g.g dễ dùng nhất

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho △ABC\triangle ABC có AB=6AB = 6 cm, BC=8BC = 8 cm, CA=10CA = 10 cm và △DEF\triangle DEF có DE=9DE = 9 cm, EF=12EF = 12 cm, FD=15FD = 15 cm.

a) Chứng minh △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF bằng trường hợp c.c.c

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Nếu A^=53°\widehat{A} = 53°, tính D^\widehat{D}

Bài 2: Cho △MNP\triangle MNP có MN=10MN = 10 cm, MP=15MP = 15 cm, M^=70°\widehat{M} = 70° và △XYZ\triangle XYZ có XY=6XY = 6 cm, XZ=9XZ = 9 cm, X^=70°\widehat{X} = 70°.

a) Chứng minh △MNP∼△XYZ\triangle MNP \sim \triangle XYZ bằng trường hợp c.g.c

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Biết NP=12NP = 12 cm, tính YZYZ

Bài 3: Cho △ABC\triangle ABC có A^=50°\widehat{A} = 50°, B^=60°\widehat{B} = 60° và △DEF\triangle DEF có E^=60°\widehat{E} = 60°, F^=70°\widehat{F} = 70°.

a) Tính C^\widehat{C} và D^\widehat{D}

b) Chứng minh △ABC∼△FDE\triangle ABC \sim \triangle FDE bằng trường hợp g.g

c) Nếu AB=8AB = 8 cm và FD=12FD = 12 cm, tính tỉ số đồng dạng

Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Một cột cờ cao 6 m có bóng dài 4 m. Cùng lúc đó, một tòa nhà có bóng dài 30 m.

a) Giải thích tại sao hai tam giác tạo bởi cột cờ và tòa nhà với bóng của chúng đồng dạng

b) Tính chiều cao của tòa nhà

c) Nếu bóng của cột cờ dài 5 m thì bóng của tòa nhà dài bao nhiêu mét?

Bài 5 (Nâng cao): Cho △ABC\triangle ABC có AB=12AB = 12 cm, AC=18AC = 18 cm, A^=60°\widehat{A} = 60°. Trên tia ABAB lấy điểm DD sao cho AD=8AD = 8 cm, trên tia ACAC lấy điểm EE sao cho AE=12AE = 12 cm.

a) Chứng minh △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Biết BC=15BC = 15 cm, tính DEDE

d) Chứng minh DE∥BCDE \parallel BC

e) Tính tỉ số diện tích SADESABC\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}

📊 Đáp số

Bài 1:

a) DEAB=96=32\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}; EFBC=128=32\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}; FDCA=1510=32\dfrac{FD}{CA} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}

Ba cạnh tỉ lệ nên △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF (c.c.c)

b) k=32k = \dfrac{3}{2}

c) D^=A^=53°\widehat{D} = \widehat{A} = 53° (góc tương ứng)

Bài 2:

a) XYMN=610=35\dfrac{XY}{MN} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}; XZMP=915=35\dfrac{XZ}{MP} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}

Có XYMN=XZMP\dfrac{XY}{MN} = \dfrac{XZ}{MP} và M^=X^=70°\widehat{M} = \widehat{X} = 70° nên △MNP∼△XYZ\triangle MNP \sim \triangle XYZ (c.g.c)

b) k=53k = \dfrac{5}{3}

c) YZ=3×125=7,2YZ = \dfrac{3 \times 12}{5} = 7{,}2 cm

Bài 3:

a) C^=180°−50°−60°=70°\widehat{C} = 180° - 50° - 60° = 70°; D^=180°−60°−70°=50°\widehat{D} = 180° - 60° - 70° = 50°

b) Có A^=D^=50°\widehat{A} = \widehat{D} = 50° và B^=E^=60°\widehat{B} = \widehat{E} = 60° nên △ABC∼△FDE\triangle ABC \sim \triangle FDE (g.g)

c) k=FDAB=128=32k = \dfrac{FD}{AB} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}

Bài 4:

a) Hai tam giác vuông có chung góc tạo bởi tia sáng mặt trời nên có hai góc bằng nhau, do đó đồng dạng (g.g)

b) Gọi chiều cao tòa nhà là hh (m). Ta có: h6=304\dfrac{h}{6} = \dfrac{30}{4}

h=6×304=45h = \dfrac{6 \times 30}{4} = 45 m

c) Tỉ số đồng dạng không đổi: h6=x5\dfrac{h}{6} = \dfrac{x}{5}

x=45×56=37,5x = \dfrac{45 \times 5}{6} = 37{,}5 m

Bài 5:

a) ADAB=812=23\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}; AEAC=1218=23\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}

Có ADAB=AEAC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} và A^\widehat{A} chung nên △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC (c.g.c)

b) k=23k = \dfrac{2}{3}

c) DE=2×153=10DE = \dfrac{2 \times 15}{3} = 10 cm

d) Vì △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC nên ADE^=ABC^\widehat{ADE} = \widehat{ABC} (hai góc ở vị trí đồng vị) ⇒DE∥BC\Rightarrow DE \parallel BC

e) SADESABC=k2=(23)2=49\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}