🚀 Khởi động

🔍 Mở đầu

Giống như tam giác bằng nhau có 3 trường hợp (c.c.c, c.g.c, g.c.g), tam giác đồng dạng cũng có 3 trường hợp tương tự để nhận biết nhanh!

🔍 Khám phá

📖 1. Trường hợp c.c.c (cạnh - cạnh - cạnh)

Định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}\Rightarrow △ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Ví dụ 1: Cho $△ABC$ có $AB=6$, $BC=9$, $CA=12$ và $△DEF$ có $DE=4$, $EF=6$, $FD=8$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Giải:

Xét tỉ số các cạnh:

$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ $\frac{BC}{EF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ $\frac{CA}{FD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Ba cạnh tỉ lệ với nhau nên $△ABC\sim △DEF$ (c.c.c)

📖 2. Trường hợp c.g.c (cạnh - góc - cạnh)

Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}\text{ vaˋ }\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}\Rightarrow △ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Ví dụ 2: Cho $△ABC$ có $AB=8$, $AC=12$, $\hat{A}=60°$ và $△MNP$ có $MN=6$, $MP=9$, $\hat{M}=60°$. Chứng minh đồng dạng.

Giải:

Xét tỉ số:

$\frac{AB}{MN}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ $\frac{AC}{MP}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$

Và $\hat{A}=\hat{M}=60°$

Vậy $△ABC\sim △MNP$ (c.g.c)

📖 3. Trường hợp g.g (góc - góc)

Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

$\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}\text{ vaˋ }\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}\Rightarrow △ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Lưu ý: Chỉ cần 2 góc bằng nhau vì góc thứ 3 tự động bằng nhau (tổng 3 góc = 180°).

Ví dụ 3: Cho $△ABC$ có $\hat{A}=50°$, $\hat{B}=70°$ và $△DEF$ có $\hat{D}=50°$, $\hat{E}=70°$. Chứng minh đồng dạng.

Giải:

Ta có: $\hat{A}=\hat{D}=50°$ và $\hat{B}=\hat{E}=70°$

Vậy $△ABC\sim △DEF$ (g.g)

Kiểm tra: $\hat{C}=180°-50°-70°=60°$ và $\hat{F}=180°-50°-70°=60°$ ✓

⚖️ 4. So sánh các trường hợp

Trường hợp	Điều kiện	Dễ áp dụng	Ghi chú
c.c.c	3 cạnh tỉ lệ	⭐⭐	Cần tính 3 tỉ số
c.g.c	2 cạnh tỉ lệ + góc xen giữa	⭐⭐⭐	Thường dùng nhất
g.g	2 góc bằng nhau	⭐⭐⭐⭐	Dễ nhất, chỉ cần góc

✏️ 5. Ví dụ tổng hợp

Ví dụ 4: Cho $△ABC$ có $AB=10$ cm, $AC=15$ cm, $\hat{A}=45°$. Tìm độ dài các cạnh của $△DEF$ đồng dạng với $△ABC$ biết $DE=6$ cm và $\hat{D}=45°$.

Giải:

Tỉ số đồng dạng:

$k=\frac{AB}{DE}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

Tính $DF$:

$\frac{AC}{DF}=k\Rightarrow DF=\frac{AC}{k}=\frac{15}{\frac{5}{3}}=15\times \frac{3}{5}=9\text{ cm}$

Để tính $EF$, cần biết $BC$ (không đủ dữ liệu).

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Hai tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ thì:

AĐồng dạngBBằng nhauCKhông đồng dạngDVuông

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng

📝 Bài toán: Một cột đèn cao 6 m đặt cách tường 4 m. Bóng của cột trên tường cao 3 m. Tính khoảng cách từ chân tường đến đỉnh bóng trên mặt đất.

Giải:

Hai tam giác tạo bởi cột đèn và bóng đồng dạng (g.g - cùng góc vuông và góc tia sáng).

Áp dụng tỉ lệ: $\frac{6}{3}=\frac{4}{x}$

$x=\frac{3\times 4}{6}=2\text{ m}$

⭐ Ghi nhớ

• c.c.c: Ba cạnh tỉ lệ
• c.g.c: Hai cạnh tỉ lệ, góc xen giữa bằng nhau
• g.g: Hai góc bằng nhau
• Trường hợp g.g dễ dùng nhất

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho $△ABC$ có $AB=6$ cm, $BC=8$ cm, $CA=10$ cm và $△DEF$ có $DE=9$ cm, $EF=12$ cm, $FD=15$ cm.

a) Chứng minh $△ABC\sim △DEF$ bằng trường hợp c.c.c

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Nếu $\hat{A}=53°$, tính $\hat{D}$

---

Bài 2: Cho $△MNP$ có $MN=10$ cm, $MP=15$ cm, $\hat{M}=70°$ và $△XYZ$ có $XY=6$ cm, $XZ=9$ cm, $\hat{X}=70°$.

a) Chứng minh $△MNP\sim △XYZ$ bằng trường hợp c.g.c

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Biết $NP=12$ cm, tính $YZ$

---

Bài 3: Cho $△ABC$ có $\hat{A}=50°$, $\hat{B}=60°$ và $△DEF$ có $\hat{E}=60°$, $\hat{F}=70°$.

a) Tính $\hat{C}$ và $\hat{D}$

b) Chứng minh $△ABC\sim △FDE$ bằng trường hợp g.g

c) Nếu $AB=8$ cm và $FD=12$ cm, tính tỉ số đồng dạng

---

Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Một cột cờ cao 6 m có bóng dài 4 m. Cùng lúc đó, một tòa nhà có bóng dài 30 m.

a) Giải thích tại sao hai tam giác tạo bởi cột cờ và tòa nhà với bóng của chúng đồng dạng

b) Tính chiều cao của tòa nhà

c) Nếu bóng của cột cờ dài 5 m thì bóng của tòa nhà dài bao nhiêu mét?

---

Bài 5 (Nâng cao): Cho $△ABC$ có $AB=12$ cm, $AC=18$ cm, $\hat{A}=60°$. Trên tia $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $AD=8$ cm, trên tia $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=12$ cm.

a) Chứng minh $△ADE\sim △ABC$

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Biết $BC=15$ cm, tính $DE$

d) Chứng minh $DE\parallel BC$

e) Tính tỉ số diện tích $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}$

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $\frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$; $\frac{EF}{BC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$; $\frac{FD}{CA}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$

Ba cạnh tỉ lệ nên $△ABC\sim △DEF$ (c.c.c)

b) $k=\frac{3}{2}$

c) $\hat{D}=\hat{A}=53°$ (góc tương ứng)

---

Bài 2:

a) $\frac{XY}{MN}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$; $\frac{XZ}{MP}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

Có $\frac{XY}{MN}=\frac{XZ}{MP}$ và $\hat{M}=\hat{X}=70°$ nên $△MNP\sim △XYZ$ (c.g.c)

b) $k=\frac{5}{3}$

c) $YZ=\frac{3\times 12}{5}=7,2$ cm

---

Bài 3:

a) $\hat{C}=180°-50°-60°=70°$; $\hat{D}=180°-60°-70°=50°$

b) Có $\hat{A}=\hat{D}=50°$ và $\hat{B}=\hat{E}=60°$ nên $△ABC\sim △FDE$ (g.g)

c) $k=\frac{FD}{AB}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

---

Bài 4:

a) Hai tam giác vuông có chung góc tạo bởi tia sáng mặt trời nên có hai góc bằng nhau, do đó đồng dạng (g.g)

b) Gọi chiều cao tòa nhà là $h$ (m). Ta có: $\frac{h}{6}=\frac{30}{4}$

$h=\frac{6\times 30}{4}=45$ m

c) Tỉ số đồng dạng không đổi: $\frac{h}{6}=\frac{x}{5}$

$x=\frac{45\times 5}{6}=37,5$ m

---

Bài 5:

a) $\frac{AD}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$; $\frac{AE}{AC}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

Có $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ và $\hat{A}$ chung nên $△ADE\sim △ABC$ (c.g.c)

b) $k=\frac{2}{3}$

c) $DE=\frac{2\times 15}{3}=10$ cm

d) Vì $△ADE\sim △ABC$ nên $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ (hai góc ở vị trí đồng vị) $\Rightarrow DE\parallel BC$

e) $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=k^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$