Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 28: Hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất

🚀 Khởi động

📈 Mở đầu — Hàm số bậc nhất trong thực tế

Hàm số bậc nhất xuất hiện rất nhiều trong đời sống:

🚕

Cước taxi

Giá mở cửa 10000đ, mỗi km 15000đ: $T = 15000x + 10000$

💡

Tiền điện

Phí cố định 20000đ, mỗi kWh 2500đ: $T = 2500x + 20000$

💬 Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với đồ thị là đường thẳng!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm hàm số bậc nhất

Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng:

$y = ax + b$

trong đó $a$ và $b$ là các số cho trước, $a \neq 0$ .

$a$ gọi là hệ số góc
$b$ gọi là tung độ gốc (giá trị của $y$ khi $x = 0$ )

Ví dụ các hàm số bậc nhất:

Hàm số	Hệ số $a$	Hệ số $b$	Ghi chú
$y = 2x + 3$	$a = 2$	$b = 3$	✓ Hàm số bậc nhất
$y = -x + 1$	$a = -1$	$b = 1$	✓ Hàm số bậc nhất
$y = 3x$	$a = 3$	$b = 0$	✓ Hàm số bậc nhất
$y = 5$	$a = 0$	$b = 5$	✗ Hàm hằng (không phải bậc nhất)

📊 2. Tính chất của hàm số bậc nhất

Tính chất: Hàm số $y = ax + b$ (với $a \neq 0$ ):

Nếu $a > 0$ : Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
- $x_1 < x_2 \Rightarrow y_1 < y_2$
Nếu $a < 0$ : Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
- $x_1 < x_2 \Rightarrow y_1 > y_2$

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến:

a) $y = 3x + 2$ : $a = 3 > 0$ → Hàm số đồng biến

b) $y = -2x + 5$ : $a = -2 < 0$ → Hàm số nghịch biến

c) $y = 0{,}5x - 1$ : $a = 0{,}5 > 0$ → Hàm số đồng biến

📈 3. Đồ thị hàm số bậc nhất

Định lý: Đồ thị của hàm số $y = ax + b$ (với $a \neq 0$ ) là một đường thẳng:

Cắt trục $Oy$ tại điểm $(0; b)$
Cắt trục $Ox$ tại điểm $\left(-\dfrac{b}{a}; 0\right)$

Cách vẽ đồ thị:

Tìm 2 điểm thuộc đồ thị (thường chọn giao với $Ox$ và $Oy$ )
Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm đó

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số $y = 2x - 4$ .

Giải:

Cách 1: Tìm giao điểm với các trục

Giao với $Oy$ ( $x = 0$ ): $y = 2 \cdot 0 - 4 = -4$ → Điểm $A(0; -4)$
Giao với $Ox$ ( $y = 0$ ): $0 = 2x - 4 \Rightarrow x = 2$ → Điểm $B(2; 0)$

Vẽ đường thẳng đi qua $A$ và $B$ .

Cách 2: Lập bảng giá trị

$x$	$0$	$2$
$y$	$-4$	$0$

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số $y = -x + 3$ .

Giải:

Giao với $Oy$ : $A(0; 3)$
Giao với $Ox$ : $0 = -x + 3 \Rightarrow x = 3$ → $B(3; 0)$

Vẽ đường thẳng đi qua $A(0; 3)$ và $B(3; 0)$ .

🔬 4. Công cụ vẽ đồ thị tương tác

Thử nghiệm vẽ đồ thị hàm số bậc nhất với các hệ số khác nhau:

Hệ số góc a = 1

📈 Đồ thị tăng

Tung độ gốc b = 0

Cắt trục Oy tại (0, 0)

y = x

🔍 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai hàm số $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$ (với $a, a' \neq 0$ ):

Song song: $a = a'$ và $b \neq b'$
Trùng nhau: $a = a'$ và $b = b'$
Cắt nhau: $a \neq a'$
- Nếu $a \cdot a' = -1$ : Hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 4: Xét vị trí tương đối:

a) $y = 2x + 1$ và $y = 2x - 3$ : $a = a' = 2$ , $b \neq b'$ → Song song

b) $y = 3x + 2$ và $y = -x + 1$ : $a = 3 \neq a' = -1$ → Cắt nhau

c) $y = x + 1$ và $y = -x + 2$ : $a \cdot a' = 1 \cdot (-1) = -1$ → Vuông góc

🎯 6. Xác định hàm số bậc nhất

Ví dụ 5: Tìm hàm số $y = ax + b$ biết đồ thị đi qua hai điểm $A(1; 3)$ và $B(2; 5)$ .

Giải:

Đồ thị đi qua $A(1; 3)$ : $3 = a \cdot 1 + b$ → $a + b = 3$ (1)

Đồ thị đi qua $B(2; 5)$ : $5 = a \cdot 2 + b$ → $2a + b = 5$ (2)

Từ (1) và (2):

$(2) - (1)$ : $a = 2$
Thay vào (1): $2 + b = 3 \Rightarrow b = 1$

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x + 1$ .

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Hàm số nào sau đây **là** hàm số bậc nhất?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Cước taxi:

Một hãng taxi tính cước theo công thức: $T = 12000x + 15000$ (đồng), trong đó $x$ là số km.

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tính tiền cước khi đi 5 km

c) Đi được bao nhiêu km nếu trả 75000đ?

Giải:

a) Đồ thị đi qua:

$(0; 15000)$ : Giá mở cửa
$(5; 75000)$ : Tính được từ công thức

b) $T = 12000 \cdot 5 + 15000 = 75000$ đồng

c) $12000x + 15000 = 75000$

$12000x = 60000$ $x = 5 \text{ km}$

📝 Bài toán 2 — Chuyển động:

Hai xe xuất phát cùng lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 100 km, đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất có vận tốc 40 km/h, xe thứ hai có vận tốc 60 km/h.

a) Viết công thức tính khoảng cách giữa hai xe theo thời gian $t$ (giờ)

b) Sau bao lâu hai xe gặp nhau?

Giải:

a) Khoảng cách giữa hai xe:

$S = 100 - (40 + 60)t = 100 - 100t$

b) Hai xe gặp nhau khi $S = 0$ :

$100 - 100t = 0$ $t = 1 \text{ giờ}$

⭐ Ghi nhớ

Hàm số bậc nhất: $y = ax + b$ (với $a \neq 0$ )
Đồ thị: Đường thẳng cắt $Oy$ tại $(0; b)$
Đồng biến: $a > 0$ , Nghịch biến: $a < 0$
Vẽ đồ thị: Cần 2 điểm
Song song: $a = a'$ , $b \neq b'$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định hệ số $a$ và $b$ .

a) $y = 3x - 5$

b) $y = x^2 + 1$

c) $y = -2x$

d) $y = 7$

e) $y = \dfrac{1}{x} + 2$

Bài 2 (Dễ): Cho hàm số $y = 2x + 3$ .

a) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục $Ox$ và trục $Oy$ .

b) Vẽ đồ thị hàm số.

c) Hàm số đồng biến hay nghịch biến? Giải thích.

Bài 3 (Trung bình): Cho hàm số $y = -3x + 6$ .

a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị có hoành độ $x = -1$ , $x = 2$ .

c) Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị có tung độ $y = 0$ , $y = 3$ .

d) Điểm $M(1; 3)$ có thuộc đồ thị không?

Bài 4 (Khá): Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) $y = 2x + 1$ và $y = 2x - 3$

b) $y = 3x + 2$ và $y = -x + 1$

c) $y = x + 1$ và $y = -x + 5$

d) $y = 2x - 1$ và $y = 2x - 1$

Bài 5 (Khó): Tìm hàm số bậc nhất $y = ax + b$ biết:

a) Đồ thị đi qua hai điểm $A(1; 3)$ và $B(2; 5)$ .

b) Đồ thị đi qua điểm $M(2; 7)$ và song song với đường thẳng $y = 3x - 1$ .

c) Đồ thị đi qua điểm $N(-1; 4)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng 2.

d) Đồ thị đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm $P(3; 6)$ .

e) Đồ thị song song với đường thẳng $y = -2x + 5$ và cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3.

Bài 6 (Khó - Ứng dụng thực tế):

a) Một cửa hàng cho thuê xe đạp với giá 20000đ cho giờ đầu tiên và 10000đ cho mỗi giờ tiếp theo.

Viết công thức tính tiền thuê $T$ (đồng) theo số giờ $x$ (với $x \geq 1$ ).
Vẽ đồ thị hàm số.
Thuê 5 giờ phải trả bao nhiêu tiền?

b) Một công ty sản xuất có chi phí cố định 5 triệu đồng/tháng và chi phí biến đổi 50000đ/sản phẩm.

Viết công thức tính tổng chi phí $C$ (triệu đồng) theo số sản phẩm $x$ .
Vẽ đồ thị.
Sản xuất 200 sản phẩm thì tổng chi phí là bao nhiêu?

c) Một bể nước có 500 lít nước. Người ta xả nước ra với lưu lượng 25 lít/phút.

Viết công thức tính lượng nước còn lại $V$ (lít) sau $t$ phút.
Vẽ đồ thị.
Sau bao lâu thì bể cạn?

d) Hai thành phố A và B cách nhau 300 km. Một ô tô xuất phát từ A đi về B với vận tốc 60 km/h. Cùng lúc đó, một xe máy xuất phát từ B đi về A với vận tốc 40 km/h.

Viết công thức tính khoảng cách giữa hai xe theo thời gian $t$ (giờ).
Vẽ đồ thị.
Sau bao lâu hai xe gặp nhau? Vị trí gặp nhau cách A bao nhiêu km?

e) Một người gửi tiết kiệm 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng (lãi đơn).

Viết công thức tính tổng tiền $S$ (triệu đồng) sau $n$ tháng.
Vẽ đồ thị với $n \in [0; 24]$ .
Sau bao nhiêu tháng thì có được 60 triệu đồng?

📊 Đáp số

Bài 1: a) Có, $a = 3, b = -5$ ; b) Không; c) Có, $a = -2, b = 0$ ; d) Không; e) Không

Bài 2: a) Cắt $Ox$ tại $(-1{,}5; 0)$ , cắt $Oy$ tại $(0; 3)$ ; c) Đồng biến vì $a = 2 > 0$

Bài 3: b) $(-1; 9), (2; 0)$ ; c) $(2; 0), (1; 3)$ ; d) Có

Bài 4: a) Song song; b) Cắt nhau; c) Vuông góc; d) Trùng nhau

Bài 5: a) $y = 2x + 1$ ; b) $y = 3x + 1$ ; c) $y = -2x + 2$ ; d) $y = 2x$ ; e) $y = -2x + 6$

Bài 6: a) $T = 10x + 10$ (nghìn đồng), Thuê 5 giờ: 60000đ; b) $C = 0{,}05x + 5$ , Chi phí: 15 triệu; c) $V = 500 - 25t$ , Thời gian: 20 phút; d) $S = 300 - 100t$ , Gặp sau 3 giờ, cách A 180 km; e) $S = 0{,}3n + 50$ , Sau 33,33 tháng