Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

🚀 Khởi động

📐 Tam giác vuông — Trường hợp đặc biệt

Tam giác vuông có những tính chất đặc biệt, nên các trường hợp đồng dạng của chúng cũng đơn giản hơn tam giác thường.

📐

Tam giác thường

Cần 3 điều kiện để xét đồng dạng

✓

Tam giác vuông

Chỉ cần 2 điều kiện (đã có góc vuông)

🔍 Khám phá

📖 1. Trường hợp 1: Góc nhọn bằng nhau

Định lí: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu chúng có một góc nhọn bằng nhau.

Giải thích: Vì đã có góc vuông bằng nhau ( $90° = 90°$ ), nếu thêm một góc nhọn bằng nhau thì góc thứ ba cũng bằng nhau (do tổng ba góc = $180°$ ).

Ví dụ 1: Tam giác vuông $ABC$ ( $\\hat{A} = 90°$ , $\\hat{B} = 35°$ ) và tam giác vuông $DEF$ ( $\\hat{D} = 90°$ , $\\hat{E} = 35°$ ).

Có $\\hat{A} = \\hat{D} = 90°$ và $\\hat{B} = \\hat{E} = 35°$

$\\Rightarrow \\triangle ABC \\sim \\triangle DEF$ (g.g)

📖 2. Trường hợp 2: Hai cạnh góc vuông tỉ lệ

Định lí: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.

$\\frac{AB}{DE} = \\frac{AC}{DF} \\Rightarrow \\triangle ABC \\sim \\triangle DEF$

Ví dụ 2: Tam giác vuông $ABC$ có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Tam giác vuông $DEF$ có $DE = 6$ cm, $DF = 8$ cm.

Kiểm tra: $\\frac{DE}{AB} = \\frac{6}{3} = 2$ và $\\frac{DF}{AC} = \\frac{8}{4} = 2$

Hai cạnh góc vuông tỉ lệ $\\Rightarrow \\triangle ABC \\sim \\triangle DEF$ với tỉ số $k = 2$

📖 3. Trường hợp 3: Cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ

Định lí: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia.

$\\frac{BC}{EF} = \\frac{AB}{DE} \\Rightarrow \\triangle ABC \\sim \\triangle DEF$

Ví dụ 3: Tam giác vuông $ABC$ có cạnh huyền $BC = 5$ cm, cạnh góc vuông $AB = 3$ cm. Tam giác vuông $DEF$ có cạnh huyền $EF = 10$ cm, cạnh góc vuông $DE = 6$ cm.

Kiểm tra: $\\frac{EF}{BC} = \\frac{10}{5} = 2$ và $\\frac{DE}{AB} = \\frac{6}{3} = 2$

Cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ $\\Rightarrow \\triangle ABC \\sim \\triangle DEF$ với $k = 2$

🔑 4. Hệ quả: Đường cao trong tam giác vuông

Định lí: Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai tam giác vuông đồng dạng với nhau và đồng dạng với tam giác ban đầu.

Cho $\\triangle ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ :

$\\triangle ABC \\sim \\triangle HBA \\sim \\triangle HAC$

Hệ quả quan trọng:

Từ đồng dạng, ta có các hệ thức:

$AH^2 = HB \\cdot HC$ (bình phương đường cao)
$AB^2 = BH \\cdot BC$ (hệ thức cạnh góc vuông)
$AC^2 = CH \\cdot BC$ (hệ thức cạnh góc vuông)

Ví dụ 4: Tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Biết $BH = 4$ cm, $HC = 9$ cm. Tính $AH$ .

Áp dụng: $AH^2 = BH \\cdot HC = 4 \\times 9 = 36$

$\\Rightarrow AH = 6$ cm

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Hai tam giác vuông đồng dạng khi:

🌍 Vận dụng

📝 Bài toán 1: Một cột đèn cao 6 m có bóng dài 8 m. Cùng lúc đó, một cây cao 4,5 m có bóng dài bao nhiêu?

Giải:

Ánh sáng mặt trời tạo ra hai tam giác vuông đồng dạng (cùng góc tạo bởi tia sáng).

Gọi độ dài bóng cây là $x$ (m).

$\\frac{6}{8} = \\frac{4{,}5}{x} \\Rightarrow x = \\frac{4{,}5 \\times 8}{6} = 6$ m

📝 Bài toán 2: Một thang máy nghiêng có chiều dài ray 50 m, độ cao nâng lên 30 m. Một thang máy nghiêng khác có chiều dài ray 75 m thì nâng cao bao nhiêu mét (giả sử góc nghiêng như nhau)?

Giải:

Hai tam giác vuông đồng dạng (cùng góc nghiêng).

Gọi độ cao là $h$ (m).

$\\frac{50}{75} = \\frac{30}{h} \\Rightarrow h = \\frac{30 \\times 75}{50} = 45$ m

📝 Bài toán 3: Trong tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, đường cao $AH$ . Tính độ dài $AH$ , $BH$ , $CH$ .

Giải:

Cạnh huyền: $BC = \\sqrt{6^2 + 8^2} = \\sqrt{100} = 10$ cm

Từ $\\triangle ABC \\sim \\triangle HBA$ :

$\\frac{AB}{BC} = \\frac{BH}{AB} \\Rightarrow BH = \\frac{AB^2}{BC} = \\frac{36}{10} = 3{,}6$ cm

$CH = BC - BH = 10 - 3{,}6 = 6{,}4$ cm

$AH = \\sqrt{BH \\cdot HC} = \\sqrt{3{,}6 \\times 6{,}4} = \\sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ cm

⭐ Ghi nhớ

Trường hợp 1: Một góc nhọn bằng nhau
Trường hợp 2: Hai cạnh góc vuông tỉ lệ
Trường hợp 3: Cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ
Đường cao: $\\triangle ABC \\sim \\triangle HBA \\sim \\triangle HAC$
Hệ thức: $AH^2 = HB \\cdot HC$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm và tam giác vuông $DEF$ vuông tại $D$ có $DE = 9$ cm, $DF = 12$ cm.

a) Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Tính $BC$ và $EF$

d) Tính tỉ số diện tích hai tam giác

Bài 2: Cho tam giác vuông $MNP$ vuông tại $M$ có $\widehat{N} = 35°$ và tam giác vuông $XYZ$ vuông tại $X$ có $\widehat{Y} = 35°$ .

a) Chứng minh $\triangle MNP \sim \triangle XYZ$

b) Biết $MN = 5$ cm, $XY = 8$ cm. Tính tỉ số đồng dạng

c) Biết $MP = 12$ cm, tính $XZ$

Bài 3: Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ ( $H \in BC$ ). Biết $BH = 9$ cm, $HC = 16$ cm.

a) Chứng minh $\triangle ABH \sim \triangle CAH$

b) Tính $AH$

c) Tính $AB$ và $AC$

d) Tính $BC$ và kiểm tra lại bằng định lí Pythagore

Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Một cột đèn cao 8 m đặt cách tường 6 m. Ánh sáng từ đỉnh cột tạo bóng trên tường cao 4 m.

a) Vẽ hình minh họa và chỉ ra hai tam giác vuông đồng dạng

b) Tính khoảng cách từ chân tường đến điểm ánh sáng chạm mặt đất

c) Nếu cột đèn cao 12 m (các điều kiện khác không đổi), tính chiều cao bóng trên tường

Bài 5 (Nâng cao): Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 12$ cm, $AC = 16$ cm. Đường cao $AH$ cắt $BC$ tại $H$ .

a) Tính $BC$

b) Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle HBA \sim \triangle HAC$

c) Tính $AH$ , $BH$ , $HC$

d) Chứng minh $AB^2 = BH \cdot BC$ và $AC^2 = CH \cdot BC$

e) Tính tỉ số $\dfrac{S_{ABH}}{S_{AHC}}$

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ ; $\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$

Hai cạnh góc vuông tỉ lệ nên $\triangle ABC \sim \triangle DEF$

b) $k = \dfrac{3}{2}$

c) $BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm

$EF = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ cm

d) $\dfrac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$

Bài 2:

a) Hai tam giác vuông có $\widehat{N} = \widehat{Y} = 35°$ nên đồng dạng (g.g)

b) $k = \dfrac{XY}{MN} = \dfrac{8}{5}$

c) $XZ = \dfrac{8 \times 12}{5} = 19{,}2$ cm

Bài 3:

a) Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$ :

$\widehat{AHB} = \widehat{CHA} = 90°$
$\widehat{ABH} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat{BAH}$ )

Vậy $\triangle ABH \sim \triangle CAH$ (g.g)

b) $AH^2 = BH \cdot HC = 9 \times 16 = 144$

$AH = 12$ cm

c) $AB^2 = BH \cdot BC = 9 \times 25 = 225 \Rightarrow AB = 15$ cm

$AC^2 = CH \cdot BC = 16 \times 25 = 400 \Rightarrow AC = 20$ cm

d) $BC = BH + HC = 9 + 16 = 25$ cm

Kiểm tra: $AB^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = BC^2$ ✓

Bài 4:

a) Hai tam giác vuông tạo bởi cột đèn và bóng trên tường đồng dạng (cùng góc tạo bởi tia sáng)

b) Gọi khoảng cách cần tìm là $x$ (m). Ta có: $\dfrac{8}{4} = \dfrac{6 + x}{x}$

$8x = 4(6 + x) \Rightarrow 8x = 24 + 4x \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6$ m

c) Tỉ số đồng dạng không đổi: $\dfrac{12}{h} = \dfrac{8}{4} = 2$

$h = 6$ m

Bài 5:

a) $BC = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ cm

b) - $\triangle ABC$ và $\triangle HBA$ : cùng vuông, có $\widehat{B}$ chung $\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle HBA$

$\triangle ABC$ và $\triangle HAC$ : cùng vuông, có $\widehat{C}$ chung $\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle HAC$
Từ đó: $\triangle ABC \sim \triangle HBA \sim \triangle HAC$

c) $AH = \dfrac{AB \times AC}{BC} = \dfrac{12 \times 16}{20} = 9{,}6$ cm

$BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{144}{20} = 7{,}2$ cm

$CH = \dfrac{AC^2}{BC} = \dfrac{256}{20} = 12{,}8$ cm

d) $AB^2 = 144$ và $BH \cdot BC = 7{,}2 \times 20 = 144$ ✓

$AC^2 = 256$ và $CH \cdot BC = 12{,}8 \times 20 = 256$ ✓

e) $\dfrac{S_{ABH}}{S_{AHC}} = \dfrac{BH}{CH} = \dfrac{7{,}2}{12{,}8} = \dfrac{9}{16}$