🚀 Khởi động

✖️ Mở đầu — Tại sao cần nhân chia phân thức?

Phép nhân và chia phân thức xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế:

📏

Diện tích hình chữ nhật

Dài $\dfrac{x+1}{2}$, rộng $\dfrac{4}{x+1}$: $S = \frac{x+1}{2} \cdot \frac{4}{x+1} = 2$

🚗

Vận tốc

Quãng đường $\dfrac{x^2-4}{x}$, thời gian $\dfrac{x-2}{x}$: $v = \frac{x^2-4}{x} : \frac{x-2}{x} = x+2$

💬 Phép nhân chia phân thức đại số tương tự như phân số, nhưng cần chú ý rút gọn!

🔍 Khám phá

📖 1. Phép nhân phân thức đại số

Quy tắc nhân: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau:

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Lưu ý: Nên rút gọn trước khi nhân để đơn giản hóa tính toán.

Ví dụ 1: Tính $\dfrac{3}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{6}$ (với $x \neq -1$).

Giải:

Cách 1 (nhân trực tiếp):

$\frac{3}{x+1} \cdot \frac{x+1}{6} = \frac{3(x+1)}{6(x+1)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Cách 2 (rút gọn trước):

$\frac{3}{x+1} \cdot \frac{x+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ví dụ 2: Tính $\dfrac{x^2-4}{x+3} \cdot \dfrac{x+3}{x+2}$ (với $x \neq -3, -2$).

Giải:

Phân tích: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$\frac{(x-2)(x+2)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)(x+3)}{(x+3)(x+2)} = x-2$

➗ 2. Phép chia phân thức đại số

Định nghĩa phân thức nghịch đảo: Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{B}{A}$ gọi là nghịch đảo của nhau nếu:

$\frac{A}{B} \cdot \frac{B}{A} = 1$

Quy tắc chia: Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ (với $C \neq 0$), ta nhân $\dfrac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\dfrac{C}{D}$:

$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Ví dụ 3: Tính $\dfrac{x}{x-1} : \dfrac{x^2}{x^2-1}$ (với $x \neq 0, \pm 1$).

Giải:

Phân tích: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$\frac{x}{x-1} : \frac{x^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$

$= \frac{x(x-1)(x+1)}{x^2(x-1)} = \frac{x+1}{x}$

Ví dụ 4: Tính $\dfrac{2x+4}{x-3} : \dfrac{x+2}{x^2-9}$ (với $x \neq -2, \pm 3$).

Giải:

Phân tích:

• Tử phân thức 1: $2x+4 = 2(x+2)$
• Mẫu phân thức 2: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$

$\frac{2(x+2)}{x-3} : \frac{x+2}{(x-3)(x+3)} = \frac{2(x+2)}{x-3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x+2}$

$= \frac{2(x+2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)} = 2(x+3) = 2x+6$

🔀 3. Biểu thức hỗn hợp

Biểu thức hỗn hợp là biểu thức chứa nhiều phép toán: cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

Thứ tự thực hiện:

1. Thực hiện phép tính trong ngoặc trước
2. Thực hiện phép nhân, chia từ trái sang phải
3. Thực hiện phép cộng, trừ từ trái sang phải

Ví dụ 5: Tính $\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}\right) \cdot \dfrac{x(x+1)}{2}$ (với $x \neq 0, -1$).

Giải:

Bước 1: Tính trong ngoặc:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}$

Bước 2: Nhân:

$\frac{2x+1}{x(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{2} = \frac{(2x+1) \cdot x(x+1)}{2 \cdot x(x+1)} = \frac{2x+1}{2}$

Ví dụ 6: Rút gọn $\dfrac{x}{x-1} : \left(\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{1}{x}\right)$ (với $x \neq 0, 1$).

Giải:

Bước 1: Tính trong ngoặc:

$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x} = \frac{x^2}{x(x-1)} - \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{x^2-x+1}{x(x-1)}$

Bước 2: Chia:

$\frac{x}{x-1} : \frac{x^2-x+1}{x(x-1)} = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x(x-1)}{x^2-x+1} = \frac{x^2}{x^2-x+1}$

📌 4. Tính chất của phép nhân

Phép nhân phân thức có các tính chất:

1. Giao hoán: $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D} \cdot \dfrac{A}{B}$

2. Kết hợp: $\left(\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D}\right) \cdot \dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B} \cdot \left(\dfrac{C}{D} \cdot \dfrac{E}{F}\right)$

3. Phân phối với phép cộng: $\dfrac{A}{B} \cdot \left(\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}\right) = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{E}{F}$

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Tính $\dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{x}{3}$ (với $x \neq 0$):

A$\dfrac{2}{3}$B$\dfrac{2x}{3x}$C$\dfrac{2x^2}{3}$D$\dfrac{6}{x^2}$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Diện tích hình chữ nhật:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $\dfrac{x^2-4}{x}$ m và chiều rộng $\dfrac{2x}{x+2}$ m. Tính diện tích.

Giải:

Diện tích:

$S = \frac{x^2-4}{x} \cdot \frac{2x}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x} \cdot \frac{2x}{x+2}$

$= \frac{(x-2)(x+2) \cdot 2x}{x(x+2)} = 2(x-2) = 2x-4 \text{ (m}^2\text{)}$

Nếu $x = 5$: $S = 2 \cdot 5 - 4 = 6$ m²

---

📝 Bài toán 2 — Vận tốc:

Một xe đi quãng đường $\dfrac{x^2+3x+2}{x}$ km trong thời gian $\dfrac{x+2}{x}$ giờ. Tính vận tốc.

Giải:

Vận tốc:

$v = \frac{x^2+3x+2}{x} : \frac{x+2}{x} = \frac{x^2+3x+2}{x} \cdot \frac{x}{x+2}$

Phân tích: $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$

$v = \frac{(x+1)(x+2)}{x} \cdot \frac{x}{x+2} = \frac{(x+1)(x+2) \cdot x}{x(x+2)} = x+1 \text{ (km/h)}$

Nếu $x = 4$: $v = 5$ km/h

---

📝 Bài toán 3 — Công suất:

Máy A có công suất $\dfrac{x}{x-1}$ sản phẩm/giờ. Máy B có công suất gấp $\dfrac{x-1}{2}$ lần máy A. Tính công suất máy B.

Giải:

Công suất máy B:

$P_B = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x-1}{2} = \frac{x(x-1)}{2(x-1)} = \frac{x}{2} \text{ (sản phẩm/giờ)}$

Nếu $x = 6$: $P_B = 3$ sản phẩm/giờ

⭐ Ghi nhớ

• Phép nhân: $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$
• Phép chia: $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$
• Nghịch đảo: $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{B}{A}$ nghịch đảo nhau
• Thứ tự: Ngoặc → Nhân, chia → Cộng, trừ
• Mẹo: Rút gọn trước khi nhân để đơn giản hóa

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Thực hiện phép nhân:

a) $\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x}{5}$ (với $x \neq 0$)

b) $\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x-2}{x+1}$ (với $x \neq -1, 2$)

c) $\dfrac{2x}{x+3} \cdot \dfrac{x+3}{4}$ (với $x \neq -3$)

d) $\dfrac{x^2-4}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{x-2}$ (với $x \neq -1, 2$)

Bài 2 (Dễ): Tìm phân thức nghịch đảo của:

a) $\dfrac{x-3}{x+5}$

b) $\dfrac{2x^2}{x-1}$

c) $x+2$ (viết dưới dạng phân thức)

d) $\dfrac{x^2-9}{x+3}$

Bài 3 (Trung bình): Thực hiện phép chia:

a) $\dfrac{x}{x-1} : \dfrac{x^2}{x^2-1}$ (với $x \neq 0, \pm 1$)

b) $\dfrac{x^2-4}{x+3} : \dfrac{x-2}{x^2-9}$ (với $x \neq -3, 2, 3$)

c) $\dfrac{2x+6}{x-5} : \dfrac{x+3}{x^2-25}$ (với $x \neq -3, \pm 5$)

d) $\dfrac{x^3-8}{x+1} : \dfrac{x^2-4}{x^2-1}$ (với $x \neq -1, \pm 2, 1$)

Bài 4 (Khá): Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}\right) \cdot \dfrac{x(x+1)}{2}$ (với $x \neq 0, -1$)

b) $\dfrac{x}{x-2} : \left(\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{2}{x}\right)$ (với $x \neq 0, 2$)

c) $\left(\dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{x-1}{x+1}\right) : \dfrac{4x}{x^2-1}$ (với $x \neq 0, \pm 1$)

d) $\dfrac{x^2-4}{x^2-9} \cdot \dfrac{x+3}{x-2} : \dfrac{x+2}{x-3}$ (với $x \neq \pm 2, \pm 3$)

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế): Một hình chữ nhật có:

• Chiều dài: $\dfrac{x^2+2x}{x-1}$ cm
• Chiều rộng: $\dfrac{x-1}{x+2}$ cm

a) Viết biểu thức tính diện tích hình chữ nhật.

b) Rút gọn biểu thức diện tích.

c) Viết biểu thức tính chu vi hình chữ nhật.

d) Rút gọn biểu thức chu vi.

e) Tính tỉ số giữa diện tích và chu vi.

f) Nếu $x = 3$ cm, tính diện tích và chu vi cụ thể.

g) Tìm $x$ để diện tích bằng 12 cm².

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\dfrac{3}{5}$; b) $1$; c) $\dfrac{x}{2}$; d) $x+2$

Bài 2: a) $\dfrac{x+5}{x-3}$; b) $\dfrac{x-1}{2x^2}$; c) $\dfrac{1}{x+2}$; d) $\dfrac{x+3}{x-3}$

Bài 3: a) $\dfrac{x+1}{x}$; b) $(x+2)(x+3)$; c) $2(x-5)$; d) $\dfrac{(x^2+2x+4)(x-1)}{x+1}$

Bài 4: a) $\dfrac{2x+1}{2}$; b) $\dfrac{x^2}{x^2-2x-4}$; c) $1$; d) $1$

Bài 5: a) $S = \dfrac{x^2+2x}{x-1} \cdot \dfrac{x-1}{x+2}$; b) $S = x$ cm²; c) $P = 2\left(\dfrac{x^2+2x}{x-1} + \dfrac{x-1}{x+2}\right)$; d) $P = \dfrac{2(x^3+2x^2+x-2)}{(x-1)(x+2)}$; e) Tỉ số phức tạp; f) $S = 3$ cm², $P \approx 7{,}6$ cm; g) $x = 12$ cm