Lớp 8 · Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn

Bài 38: Hình chóp tam giác đều

🚀 Khởi động

🏔️ Kim tự tháp Ai Cập

Kim tự tháp Ai Cập là một trong những kỳ quan kiến trúc cổ đại, có dạng hình chóp với đáy là hình vuông hoặc tam giác!

🏛️

Kim tự tháp

Hình chóp khổng lồ

⛺

Lều trại

Hình chóp nhỏ gọn

🏔️

Núi lửa

Dạng hình chóp tự nhiên

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm hình chóp tam giác đều

Định nghĩa: Hình chóp tam giác đều là hình chóp có:

Đáy là tam giác đều
Chân đường cao trùng với trọng tâm của tam giác đáy
Ba cạnh bên bằng nhau
Ba mặt bên là các tam giác cân bằng nhau

Hình minh họa:

Các thành phần:

Đỉnh: $S$
Đáy: Tam giác đều $ABC$ (cạnh $a$ )
Chân đường cao: $H$ (trọng tâm $\\triangle ABC$ )
Chiều cao: $SH = h$
Cạnh bên: $SA = SB = SC$

🔍 2. Tính chất

Tính chất của hình chóp tam giác đều:

Ba cạnh bên bằng nhau: $SA = SB = SC$
Ba mặt bên là tam giác cân bằng nhau
Chân đường cao $H$ là trọng tâm tam giác đáy
Các đường cao của mặt bên (trung đoạn) bằng nhau

📐 3. Công thức tính toán

a) Diện tích đáy (tam giác đều cạnh $a$ ):

$S_{\\text{đáy}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}$

b) Thể tích:

$V = \\frac{1}{3} \\times S_{\\text{đáy}} \\times h = \\frac{a^2\\sqrt{3}h}{12}$

c) Diện tích xung quanh:

$S_{xq} = 3 \\times S_{\\text{mặt bên}} = \\frac{3ad}{2}$

trong đó $d$ là trung đoạn (đường cao) của mặt bên.

d) Diện tích toàn phần:

$S_{tp} = S_{xq} + S_{\\text{đáy}}$

✏️ 4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $a = 6$ cm, chiều cao $h = 8$ cm. Tính thể tích.

Giải:

Diện tích đáy: $S_{\\text{đáy}} = \\frac{6^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}$ cm²

Thể tích: $V = \\frac{1}{3} \\times 9\\sqrt{3} \\times 8 = 24\\sqrt{3} \\approx 41{,}57$ cm³

Ví dụ 2: Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $10$ cm. Biết cạnh bên dài $13$ cm. Tính chiều cao.

Giải:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy: $R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{10}{\\sqrt{3}} = \\frac{10\\sqrt{3}}{3}$ cm

Trong tam giác vuông $SHA$ : $h^2 + R^2 = SA^2$

$h^2 = 13^2 - \\left(\\frac{10\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = 169 - \\frac{100}{3} = \\frac{407}{3}$

$h = \\sqrt{\\frac{407}{3}} \\approx 11{,}65$ cm

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Hình chóp tam giác đều có đáy là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một lều trại có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh đáy $4$ m và chiều cao $3$ m. Tính thể tích không gian bên trong lều.

Giải:

$S_{\\text{đáy}} = \\frac{4^2 \\times 1{,}73}{4} = 6{,}92$ m²

$V = \\frac{1}{3} \\times 6{,}92 \\times 3 \\approx 6{,}92$ m³

📝 Bài toán 2: Một kim tự tháp nhỏ có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh đáy $20$ m và chiều cao $15$ m. Tính khối lượng đá cần dùng, biết khối lượng riêng của đá là $2500$ kg/m³.

Giải:

$S_{\\text{đáy}} = \\frac{20^2\\sqrt{3}}{4} = 100\\sqrt{3} \\approx 173$ m²

$V = \\frac{1}{3} \\times 173 \\times 15 = 865$ m³

Khối lượng: $865 \\times 2500 = 2{.}162{.}500$ kg $\\approx 2162{,}5$ tấn

⭐ Ghi nhớ

Đáy: Tam giác đều cạnh $a$
Chân đường cao: Trọng tâm đáy
Diện tích đáy: $S = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}$
Thể tích: $V = \\frac{1}{3}Sh = \\frac{a^2\\sqrt{3}h}{12}$
Cạnh bên: Bằng nhau

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $a = 6$ cm.

a) Tính diện tích đáy (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, biết $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ )

b) Biết chiều cao $h = 8$ cm, tính thể tích hình chóp

c) Nếu tăng cạnh đáy lên gấp đôi nhưng giữ nguyên chiều cao, thể tích tăng lên bao nhiêu lần?

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $AB = 10$ cm và cạnh bên $SA = 13$ cm.

a) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy $ABC$ (biết $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ , làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

b) Gọi $H$ là chân đường cao từ $S$ . Chứng minh $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$

c) Tính chiều cao $SH$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

d) Tính thể tích hình chóp (làm tròn đến hàng đơn vị)

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều $S.MNP$ có diện tích đáy $25\sqrt{3}$ cm² và chiều cao $12$ cm.

a) Tính cạnh đáy của hình chóp (biết $S_{\text{đáy}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ )

b) Tính thể tích hình chóp

c) Nếu giảm chiều cao xuống còn một nửa, thể tích giảm đi bao nhiêu phần trăm?

Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Một lều trại dã ngoại có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh đáy $5$ m và chiều cao $4$ m.

a) Tính thể tích không gian bên trong lều (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, biết $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ )

b) Biết mỗi người cần ít nhất $3$ m³ không gian. Lều có thể chứa tối đa bao nhiêu người?

c) Nếu làm lều có cạnh đáy $6$ m và chiều cao $5$ m, thể tích tăng lên bao nhiêu lần so với lều ban đầu?

d) Tính diện tích vải bạt cần để phủ mặt đáy lều (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 5 (Nâng cao): Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $a = 12$ cm. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$ , $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

a) Chứng minh $SH \perp (ABC)$ (SH vuông góc với mặt phẳng đáy)

b) Tính $HM$ theo $a$ (biết $HM = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ )

c) Biết cạnh bên $SA = 15$ cm, tính chiều cao $SH$

d) Tính thể tích hình chóp $S.ABC$ (làm tròn đến hàng đơn vị, biết $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ )

e) Gọi $N$ là trung điểm $SC$ . Tính tỉ số thể tích $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}$

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $S_{\text{đáy}} = \dfrac{6^2 \times 1{,}73}{4} = \dfrac{36 \times 1{,}73}{4} = 15{,}6$ cm²

b) $V = \dfrac{1}{3} \times 15{,}6 \times 8 = 41{,}6$ cm³

c) Cạnh đáy mới: $2a = 12$ cm

$S'_{\text{đáy}} = \dfrac{12^2 \times 1{,}73}{4} = 62{,}3$ cm²

$V' = \dfrac{1}{3} \times 62{,}3 \times 8 = 166{,}4$ cm³

Tỉ số: $\dfrac{V'}{V} = \dfrac{166{,}4}{41{,}6} = 4$ lần (vì diện tích tăng $2^2 = 4$ lần)

Bài 2:

a) $R = \dfrac{10}{\sqrt{3}} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \approx \dfrac{10 \times 1{,}73}{3} \approx 5{,}8$ cm

b) Trong hình chóp tam giác đều, chân đường cao trùng với trọng tâm đáy (theo định nghĩa)

c) Trong tam giác vuông $SHA$ : $SH^2 + HA^2 = SA^2$

$SH^2 = 13^2 - 5{,}8^2 = 169 - 33{,}64 = 135{,}36$

$SH \approx 11{,}6$ cm

d) $S_{\text{đáy}} = \dfrac{10^2 \times 1{,}73}{4} = 43{,}25$ cm²

$V = \dfrac{1}{3} \times 43{,}25 \times 11{,}6 \approx 167$ cm³

Bài 3:

a) $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$

$a^2 = 100 \Rightarrow a = 10$ cm

b) $V = \dfrac{1}{3} \times 25\sqrt{3} \times 12 = 100\sqrt{3}$ cm³

c) Chiều cao mới: $h' = 6$ cm

$V' = \dfrac{1}{3} \times 25\sqrt{3} \times 6 = 50\sqrt{3}$ cm³

Giảm: $\dfrac{V - V'}{V} \times 100\% = \dfrac{50\sqrt{3}}{100\sqrt{3}} \times 100\% = 50\%$

Bài 4:

a) $S_{\text{đáy}} = \dfrac{5^2 \times 1{,}73}{4} = 10{,}8$ m²

$V = \dfrac{1}{3} \times 10{,}8 \times 4 = 14{,}4$ m³

b) Số người tối đa: $\dfrac{14{,}4}{3} = 4{,}8 \approx 4$ người

c) Lều mới: $S'_{\text{đáy}} = \dfrac{6^2 \times 1{,}73}{4} = 15{,}6$ m²

$V' = \dfrac{1}{3} \times 15{,}6 \times 5 = 26$ m³

Tỉ số: $\dfrac{V'}{V} = \dfrac{26}{14{,}4} \approx 1{,}8$ lần

d) Diện tích đáy: $10{,}8$ m²

Bài 5:

a) Theo định nghĩa hình chóp tam giác đều, $SH$ là đường cao nên $SH \perp (ABC)$

b) $HM = \dfrac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ cm

c) $HA = R = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ cm

Trong tam giác vuông $SHA$ : $SH^2 = SA^2 - HA^2 = 15^2 - (4\sqrt{3})^2 = 225 - 48 = 177$

$SH = \sqrt{177} \approx 13{,}3$ cm

d) $S_{\text{đáy}} = \dfrac{12^2 \times 1{,}73}{4} = 62{,}3$ cm²

$V = \dfrac{1}{3} \times 62{,}3 \times 13{,}3 \approx 276$ cm³

e) $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ (vì $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là trung điểm $SC$ )