🚀 Khởi động

📐 Định lí Thales — Tỉ lệ trong tam giác

Định lí Thales là một trong những định lí quan trọng nhất về tỉ lệ trong hình học!

📏

Đo đạc

Tính khoảng cách gián tiếp

🏗️

Xây dựng

Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ

🗺️

Bản đồ

Tỉ lệ thu phóng

🔍 Khám phá

📖 1. Định lí Thales trong tam giác

Định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Hình minh họa:

Phát biểu toán học:

Cho tam giác $ABC$, đường thẳng $d$ song song với $BC$ cắt $AB$ tại $D$ và $AC$ tại $E$.

Khi đó: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

🔑 2. Hệ quả của định lí Thales

Hệ quả 1: Nếu $DE \parallel BC$ thì:

$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

Hệ quả 2: Nếu $DE \parallel BC$ thì:

$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$

Chứng minh hệ quả 1:

Từ $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AD + DB} = \dfrac{AE}{AE + EC}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

Ví dụ 1: Tam giác $ABC$ có $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$. Biết $AD = 4$ cm, $DB = 6$ cm, $AE = 6$ cm. Tính $EC$.

Giải:

Theo hệ quả 1: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

$\Rightarrow \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{EC}$

$\Rightarrow EC = \dfrac{6 \times 6}{4} = 9$ cm

↔️ 3. Định lí Thales đảo

Định lí Thales đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.

Phát biểu toán học:

Cho tam giác $ABC$, $D \in AB$, $E \in AC$.

Nếu $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ thì $DE \parallel BC$

Ví dụ 2: Tam giác $ABC$ có $AB = 12$ cm, $AC = 15$ cm, $AD = 8$ cm, $AE = 10$ cm. Chứng minh $DE \parallel BC$.

Giải:

Ta có: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$

Vì $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ nên $DE \parallel BC$ (định lí Thales đảo)

Ví dụ 3: Tam giác $ABC$ có $AB = 10$ cm, $AC = 12$ cm, $BC = 15$ cm. Đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$, $AC$ tại $D$, $E$ sao cho $AD = 4$ cm. Tính $AE$ và $DE$.

Giải:

Theo định lí Thales: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$

$\Rightarrow \dfrac{4}{10} = \dfrac{AE}{12} = \dfrac{DE}{15}$

Từ $\dfrac{4}{10} = \dfrac{AE}{12}$: $AE = \dfrac{4 \times 12}{10} = 4{,}8$ cm

Từ $\dfrac{4}{10} = \dfrac{DE}{15}$: $DE = \dfrac{4 \times 15}{10} = 6$ cm

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Trung bình0 đã trả lời

Trong tam giác $ABC$, nếu $DE \parallel BC$ thì:

A$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$B$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$C$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$DCả A, B, C đều đúng

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Đo chiều cao: Một cây cột cao $6$ m có bóng dài $4$ m. Cùng lúc đó, một tòa nhà có bóng dài $28$ m. Tính chiều cao tòa nhà.

Giải:

Ánh sáng mặt trời tạo ra các tia song song, nên theo định lí Thales:

$\dfrac{\text{Chiều cao cột}}{\text{Bóng cột}} = \dfrac{\text{Chiều cao nhà}}{\text{Bóng nhà}}$

$\Rightarrow \dfrac{6}{4} = \dfrac{h}{28}$

$\Rightarrow h = \dfrac{6 \times 28}{4} = 42$ m

Vậy tòa nhà cao $42$ m.

📝 Bài toán 2 — Chia đất: Một mảnh đất hình tam giác $ABC$ cần chia thành hai phần có diện tích bằng nhau bằng đường thẳng song song với $BC$. Biết $AB = 20$ m, tính khoảng cách từ $A$ đến đường chia.

Giải:

Gọi $DE \parallel BC$ là đường chia, với $D \in AB$.

Để diện tích bằng nhau: $S_{ADE} = \dfrac{1}{2}S_{ABC}$

Vì $DE \parallel BC$ nên $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ với tỉ số $k = \dfrac{AD}{AB}$

$\Rightarrow \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow k = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow AD = 20 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ m

⭐ Ghi nhớ

• Định lí Thales: $DE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$
• Hệ quả 1: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$
• Hệ quả 2: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$
• Định lí đảo: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} \Rightarrow DE \parallel BC$

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tam giác $ABC$ có $D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$.

a) Biết $AD = 5$ cm, $AB = 15$ cm, $AC = 18$ cm. Tính $AE$.

b) Biết $AD = 4$ cm, $DB = 8$ cm, $AE = 6$ cm. Tính $EC$.

c) Biết $AB = 20$ cm, $AC = 24$ cm, $DE = 10$ cm, $BC = 30$ cm. Tính $AD$.

d) Chứng minh $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$.

Bài 2: Tam giác $ABC$ có $AB = 12$ cm, $AC = 16$ cm, $BC = 20$ cm.

a) Đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $D$ sao cho $AD = 6$ cm. Tính $AE$ ($E \in AC$).

b) Tính $DE$.

c) Tính chu vi tam giác $ADE$.

d) Tính tỉ số diện tích $\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}$.

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ có $D \in AB$, $E \in AC$.

a) Biết $AD = 6$ cm, $AB = 10$ cm, $AE = 9$ cm, $AC = 15$ cm. Chứng minh $DE \parallel BC$.

b) Biết $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{2}{3}$, $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{2}{3}$. Chứng minh $DE \parallel BC$.

c) Biết $AD = 8$ cm, $DB = 4$ cm, $AE = 10$ cm, $EC = 6$ cm. $DE$ có song song $BC$ không?

d) Biết $AB = 15$ cm, $AC = 18$ cm, $AD = 5$ cm, $AE = 7$ cm. $DE$ có song song $BC$ không?

Bài 4: Chứng minh:

a) Nếu $DE \parallel BC$ thì $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$.

b) Nếu $DE \parallel BC$ thì $\dfrac{DB}{AD} = \dfrac{EC}{AE}$.

c) Trong tam giác, đường thẳng song song với một cạnh chia hai cạnh còn lại thành những đoạn tỉ lệ.

d) Nếu hai đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác thì chúng chia hai cạnh đó thành những đoạn tương ứng tỉ lệ.

Bài 5: Tam giác $ABC$ có $AB = 9$ cm, $AC = 12$ cm. Các đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$, $AC$ tại $D$, $E$ và $D'$, $E'$.

a) Biết $AD = 3$ cm, $AD' = 6$ cm. Tính $AE$, $AE'$.

b) Tính $\dfrac{DE}{BC}$, $\dfrac{D'E'}{BC}$.

c) So sánh $DE$ và $D'E'$.

d) Chứng minh $DE \parallel D'E'$.

Bài 6 (Thực tế): Một cây cột điện cao $8$ m có bóng dài $5$ m.

a) Cùng lúc đó, một cây có bóng dài $3$ m. Tính chiều cao cây.

b) Một tòa nhà có bóng dài $35$ m. Tính chiều cao tòa nhà.

c) Muốn đo chiều cao một ngọn núi có bóng $2$ km, cần cột cao bao nhiêu nếu bóng cột $4$ m?

d) Giải thích tại sao phương pháp này hoạt động.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $6$ cm; b) $12$ cm; c) $\dfrac{20}{3}$ cm; d) Chứng minh bằng hệ quả 2

Bài 2: a) $8$ cm; b) $10$ cm; c) $24$ cm; d) $\dfrac{1}{4}$

Bài 3: a) $\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{15}$ nên $DE \parallel BC$; b) Chứng minh bằng định lí đảo; c) Không ($\dfrac{8}{4} \neq \dfrac{10}{6}$); d) Không ($\dfrac{5}{15} \neq \dfrac{7}{18}$)

Bài 4: Chứng minh bằng định lí Thales và tính chất tỉ lệ

Bài 5: a) $AE = 4$ cm, $AE' = 8$ cm; b) $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{2}{3}$; c) $DE < D'E'$; d) Cùng song song với $BC$

Bài 6: a) $4{,}8$ m; b) $56$ m; c) $16$ m; d) Ánh sáng mặt trời tạo tia song song, áp dụng định lí Thales