Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

🚀 Khởi động

📐 Định lí nổi tiếng nhất hình học

Định lí Pythagore là một trong những định lí quan trọng và ứng dụng nhất trong toán học, được phát hiện từ hơn 2500 năm trước!

🔍 Khám phá

📖 1. Định lí Pythagore

Định lí Pythagore: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

$c^2 = a^2 + b^2$

trong đó $c$ là cạnh huyền, $a$ và $b$ là hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm. Tính cạnh huyền.

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ $c = 5 \text{ cm}$

🔄 2. Định lí Pythagore đảo

Định lí đảo: Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

$a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow \triangle ABC \text{ vuông tại } C$

Ví dụ 2: Tam giác có ba cạnh 5, 12, 13 có phải tam giác vuông không?

Kiểm tra: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ✓

Vậy tam giác vuông (vuông tại đỉnh đối diện cạnh 13).

🔢 3. Bộ ba số Pythagore

Một số bộ ba Pythagore thường gặp:

Bộ ba	Kiểm tra
3, 4, 5	$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
5, 12, 13	$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
8, 15, 17	$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$
7, 24, 25	$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 7

Dễ0 đã trả lời

Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3 cm và 4 cm. Cạnh huyền bằng:

🌍 Vận dụng

🌍 Ứng dụng

📝 Bài toán 1: Một cái thang dài 5 m dựa vào tường, chân thang cách tường 3 m. Tính độ cao thang chạm tường.

$h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ $h = 4 \text{ m}$

📝 Bài toán 2: Một hình chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 5 cm. Tính đường chéo.

$d^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $d = 13 \text{ cm}$

⭐ Ghi nhớ

Định lí Pythagore: $c^2 = a^2 + b^2$
Định lí đảo: $a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow$ tam giác vuông
Bộ ba Pythagore: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ .

a) Biết $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm. Tính $BC$

b) Biết $BC = 13$ cm, $AB = 5$ cm. Tính $AC$

c) Biết $BC = 10$ cm, $AC = 8$ cm. Tính $AB$

Bài 2: Xét xem các bộ ba số sau có phải là độ dài ba cạnh của tam giác vuông không? Nếu có, chỉ ra cạnh nào là cạnh huyền.

a) 6, 8, 10

b) 9, 12, 15

c) 7, 24, 25

d) 5, 11, 13

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 7$ cm, $BC = 24$ cm, $CA = 25$ cm.

a) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông

b) Tính diện tích tam giác $ABC$

c) Tính đường cao $AH$ (với $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$ )

Bài 4 (Ứng dụng thực tế):

a) Một cái thang dài 5 m dựa vào tường, chân thang cách chân tường 3 m. Tính độ cao mà thang chạm tường.

b) Một hình chữ nhật có chiều dài 16 cm và chiều rộng 12 cm. Tính độ dài đường chéo.

c) Một sân bóng hình chữ nhật có chiều dài 100 m và chiều rộng 60 m. Một cầu thủ chạy từ góc này sang góc đối diện theo đường chéo. Tính quãng đường cầu thủ chạy.

Bài 5 (Nâng cao): Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm. Kẻ đường cao $AH$ ( $H \in BC$ ).

a) Tính $BC$

b) Tính diện tích tam giác $ABC$

c) Tính $AH$ (sử dụng công thức diện tích)

d) Chứng minh $\triangle ABH \sim \triangle CBA$

e) Tính $BH$ và $CH$

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$BC = 13$ cm

b) $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$AC = 12$ cm

c) $AB^2 = BC^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$AB = 6$ cm

Bài 2:

a) $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ ✓ Tam giác vuông, cạnh huyền 10

b) $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ ✓ Tam giác vuông, cạnh huyền 15

c) $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ ✓ Tam giác vuông, cạnh huyền 25

d) $5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146 \neq 169 = 13^2$ ✗ Không phải tam giác vuông

Bài 3:

a) Kiểm tra: $AB^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 = CA^2$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (theo định lí Pythagore đảo)

b) $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \times AB \times BC = \dfrac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$ cm²

c) $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \times BC \times AH$

$84 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times AH$

$AH = \dfrac{84 \times 2}{24} = 7$ cm

Bài 4:

a) $h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$h = 4$ m

b) $d^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$

$d = 20$ cm

c) $d^2 = 100^2 + 60^2 = 10000 + 3600 = 13600$

$d = \sqrt{13600} \approx 116{,}6$ m

Bài 5:

a) $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$BC = 10$ cm

b) $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AC = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm²

c) $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \times BC \times AH$

$24 = \dfrac{1}{2} \times 10 \times AH$

$AH = 4{,}8$ cm

d) Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CBA$ :

$\widehat{AHB} = \widehat{BAC} = 90°$
$\widehat{B}$ chung

Vậy $\triangle ABH \sim \triangle CBA$ (g.g)

e) Từ $\triangle ABH \sim \triangle CBA$ : $\dfrac{BH}{AB} = \dfrac{AB}{BC}$

$BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{36}{10} = 3{,}6$ cm

$CH = BC - BH = 10 - 3{,}6 = 6{,}4$ cm