🚀 Khởi động

📏 Đường trung bình — Đường đặc biệt

Đường trung bình có tính chất đẹp và ứng dụng rộng rãi!

🏗️

Kết cấu

Thanh giằng giữa hai cột

🌉

Cầu treo

Dây cáp song song

📐

Thiết kế

Chia tỉ lệ chính xác

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa đường trung bình

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Hình minh họa:

Trong tam giác $ABC$:

• $M$ là trung điểm $AB$ ($AM = MB$)
• $N$ là trung điểm $AC$ ($AN = NC$)
• $MN$ là đường trung bình

🔑 2. Tính chất đường trung bình

Định lí: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.

Phát biểu toán học:

Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$.

Khi đó:

1. $MN \parallel BC$
2. $MN = \dfrac{BC}{2}$

Chứng minh:

Kẻ $MN$ và kéo dài đến $D$ sao cho $N$ là trung điểm $MD$.

Xét $\triangle AMN$ và $\triangle CND$:

• $AN = NC$ (giả thiết)
• $\hat{ANM} = \hat{CND}$ (đối đỉnh)
• $MN = ND$ (cách dựng)

$\Rightarrow \triangle AMN = \triangle CND$ (c.g.c)

$\Rightarrow AM = CD$ và $\hat{AMN} = \hat{CDN}$

Mà $AM = MB$ (giả thiết) nên $MB = CD$

Và $\hat{AMN} = \hat{CDN}$ (so le trong) nên $AB \parallel CD$

Tứ giác $MBCD$ có $MB = CD$ và $MB \parallel CD$ nên là hình bình hành.

$\Rightarrow MN \parallel BC$ và $MD = BC$

Vì $MN = \dfrac{MD}{2}$ nên $MN = \dfrac{BC}{2}$

Ví dụ 1: Tam giác $ABC$ có $BC = 18$ cm. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Tính $MN$.

Giải:

$MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$ cm

↔️ 3. Định lí đảo

Định lí đảo: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Ví dụ 2: Tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $AB$. Đường thẳng qua $M$ song song với $BC$ cắt $AC$ tại $N$. Chứng minh $N$ là trung điểm $AC$.

Giải:

Theo định lí đảo về đường trung bình:

Vì $M$ là trung điểm $AB$ và $MN \parallel BC$

$\Rightarrow N$ là trung điểm $AC$

💡 4. Ứng dụng

Ví dụ 3: Tam giác $ABC$ có $AB = 10$ cm, $AC = 12$ cm, $BC = 14$ cm. Tính chu vi tam giác tạo bởi ba đường trung bình.

Giải:

Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$, $BC$.

Ba đường trung bình là: $MN$, $NP$, $PM$

• $MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$ cm
• $NP = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$ cm
• $PM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$ cm

Chu vi tam giác $MNP = 7 + 5 + 6 = 18$ cm

Nhận xét: Chu vi tam giác tạo bởi ba đường trung bình bằng nửa chu vi tam giác ban đầu.

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng:

ANối trung điểm hai cạnh của tam giácBNối đỉnh với trung điểm cạnh đối diệnCChia tam giác thành hai phần bằng nhauDVuông góc với một cạnh

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Kết cấu cầu: Một cây cầu có dạng tam giác $ABC$ với $AB = 30$ m, $AC = 40$ m, $BC = 50$ m. Người ta muốn làm thanh giằng nối trung điểm hai cột $AB$ và $AC$. Tính độ dài thanh giằng.

Giải:

Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$.

Thanh giằng $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$ m

Vậy thanh giằng dài $25$ m.

📝 Bài toán 2 — Chia đất: Một mảnh đất hình tam giác có ba cạnh $60$ m, $80$ m, $100$ m. Người ta muốn chia thành bốn mảnh nhỏ bằng cách nối các trung điểm. Tính chu vi mỗi mảnh nhỏ ở giữa.

Giải:

Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm ba cạnh.

Tam giác $MNP$ (mảnh ở giữa) có:

• $MN = \dfrac{100}{2} = 50$ m
• $NP = \dfrac{60}{2} = 30$ m
• $PM = \dfrac{80}{2} = 40$ m

Chu vi tam giác $MNP = 50 + 30 + 40 = 120$ m

⭐ Ghi nhớ

• Định nghĩa: đoạn nối trung điểm hai cạnh tam giác
• Tính chất: $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{BC}{2}$
• Định lí đảo: qua trung điểm một cạnh, song song cạnh thứ hai thì qua trung điểm cạnh thứ ba
• Tam giác có 3 đường trung bình
• Chu vi tam giác tạo bởi ba đường trung bình = $\dfrac{1}{2}$ chu vi tam giác ban đầu

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tam giác $ABC$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$.

a) Biết $BC = 16$ cm. Tính $MN$.

b) Biết $MN = 9$ cm. Tính $BC$.

c) Chứng minh $MN \parallel BC$.

d) Biết $AB = 12$ cm, $AC = 14$ cm. Tính chu vi tam giác $AMN$.

Bài 2: Tam giác $ABC$ có $AB = 10$ cm, $AC = 12$ cm, $BC = 14$ cm.

a) Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$, $BC$. Tính $MN$, $NP$, $PM$.

b) Tính chu vi tam giác $MNP$.

c) So sánh chu vi tam giác $MNP$ với chu vi tam giác $ABC$.

d) Tính diện tích tam giác $MNP$ biết diện tích tam giác $ABC$ là $48$ cm².

Bài 3: Tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $AB$.

a) Đường thẳng qua $M$ song song với $BC$ cắt $AC$ tại $N$. Chứng minh $N$ là trung điểm $AC$.

b) Biết $BC = 20$ cm. Tính $MN$.

c) Chứng minh $AM = MB$, $AN = NC$.

d) Tính tỉ số $\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}$.

Bài 4: Chứng minh:

a) Ba đường trung bình của tam giác chia tam giác thành bốn tam giác bằng nhau.

b) Chu vi tam giác tạo bởi ba đường trung bình bằng nửa chu vi tam giác ban đầu.

c) Diện tích tam giác tạo bởi ba đường trung bình bằng một phần tư diện tích tam giác ban đầu.

d) Trong tam giác vuông, đường trung bình ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Bài 5: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm.

a) Tính $BC$.

b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính $AM$.

c) Chứng minh $AM = \dfrac{BC}{2}$.

d) Gọi $D$, $E$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Tính chu vi tam giác $ADE$.

Bài 6 (Thực tế): Một mảnh vườn hình tam giác có ba cạnh $40$ m, $50$ m, $60$ m.

a) Người ta nối các trung điểm ba cạnh. Tính chu vi tam giác tạo thành ở giữa.

b) Tính tổng độ dài ba đường nối.

c) Nếu rào xung quanh tam giác giữa với giá $50.000$ đồng/m, tính chi phí.

d) So sánh diện tích tam giác giữa với diện tích mảnh vườn ban đầu.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $8$ cm; b) $18$ cm; c) Tính chất đường trung bình; d) $17$ cm

Bài 2: a) $MN = 7$ cm, $NP = 5$ cm, $PM = 6$ cm; b) $18$ cm; c) Bằng nửa; d) $12$ cm²

Bài 3: a) Định lí đảo; b) $10$ cm; c) Theo định nghĩa trung điểm; d) $\dfrac{1}{4}$

Bài 4: Chứng minh bằng tính chất đường trung bình

Bài 5: a) $10$ cm; b) $5$ cm; c) Tính chất tam giác vuông; d) $7$ cm

Bài 6: a) $75$ m; b) $75$ m; c) $3.750.000$ đồng; d) Bằng $\dfrac{1}{4}$