🚀 Khởi động

🌍 Mở đầu — Tại sao cần phân thức đại số?

Trong thực tế, nhiều bài toán dẫn đến biểu thức có biến số ở mẫu:

🚗

Vận tốc trung bình

Ô tô đi quãng đường $S$ km trong $t$ giờ: $v = \frac{S}{t}$

💧

Nồng độ dung dịch

$m$ gam muối trong $V$ lít nước: $C = \frac{m}{V} \times 100\%$

🔧

Bài toán công việc

Hai máy có năng suất $a$, $b$ làm cùng: $t = \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{ab}{a+b}$

📐

Hình học

Diện tích hình chữ nhật chu vi $2p$, chiều dài $a$: $S = a(p-a) = \frac{a \cdot (2p-2a)}{2}$

💬 Tất cả những biểu thức trên đều có dạng thương của hai đa thức — đó chính là phân thức đại số!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm phân thức đại số

Định nghĩa: Phân thức đại số là biểu thức có dạng

$\frac{A}{B}$

trong đó $A$ và $B$ là các đa thức, $B \neq 0$ (đa thức 0 không được là mẫu).

• $A$ gọi là tử thức
• $B$ gọi là mẫu thức

Ví dụ các phân thức đại số hợp lệ:

Phân thức	Tử thức $A$	Mẫu thức $B$
$\dfrac{x+1}{x-2}$	$x+1$	$x-2$
$\dfrac{3x^2-5x+1}{2x+3}$	$3x^2-5x+1$	$2x+3$
$\dfrac{x^3-8}{x^2+x+1}$	$x^3-8$	$x^2+x+1$
$\dfrac{5}{x}$	$5$	$x$
$x^2 + 3x$	$x^2+3x$	$1$ (đa thức cũng là phân thức!)

Lưu ý quan trọng:

• Mọi đa thức đều là phân thức đại số (mẫu = 1).
• Không phải phân thức đại số: $\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$, $\dfrac{\sin x}{x}$, $\dfrac{x!}{2}$… vì tử/mẫu không phải đa thức.

⚠️ 2. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Phân thức $\dfrac{A}{B}$ xác định (có giá trị) khi và chỉ khi mẫu thức $B \neq 0$.

Tập hợp các giá trị của biến để $B \neq 0$ gọi là điều kiện xác định của phân thức.

Cách tìm ĐKXĐ:

1. Đặt mẫu thức $B \neq 0$
2. Giải phương trình/bất phương trình để loại trừ các giá trị làm $B = 0$

Ví dụ tìm ĐKXĐ:

Phân thức	Mẫu thức $B$	Giải $B = 0$	ĐKXĐ
$\dfrac{x+1}{x-3}$	$x-3$	$x=3$	$x \neq 3$
$\dfrac{2x}{x^2-4}$	$x^2-4=(x-2)(x+2)$	$x=\pm 2$	$x \neq \pm 2$
$\dfrac{x}{x^2+1}$	$x^2+1$	Vô nghiệm (vì $x^2+1 \geq 1$)	Mọi $x \in \mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x(x-1)(x+2)}$	$x(x-1)(x+2)$	$x=0;\ x=1;\ x=-2$	$x \neq 0;\ 1;\ -2$

✏️ 3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phân thức $\dfrac{x^2-1}{x+1}$. Tìm ĐKXĐ và rút gọn.

Giải:

ĐKXĐ: $x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$

Rút gọn: Phân tích tử: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x - 1 \quad (x \neq -1)$

Ví dụ 2: Cho phân thức $\dfrac{2x^2 + 4x}{x^2 + 2x - 3}$. Tìm ĐKXĐ và rút gọn.

Giải:

ĐKXĐ: $x^2 + 2x - 3 \neq 0$

Phân tích: $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ và $x \neq -3$

Rút gọn:

• Tử: $2x^2 + 4x = 2x(x+2)$
• Mẫu: $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$

Hai biểu thức này không có nhân tử chung ⟹ phân thức đã tối giản.

Ví dụ 3: Rút gọn $\dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ (với $x \neq \pm 2$).

Giải:

Dùng hằng đẳng thức:

• Tử: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$
• Mẫu: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$\frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x+4}{x+2}$

🔍 Khám phá

🔬 4. Khám phá tương tác — Rút gọn phân thức

Công cụ dưới đây minh họa trực quan quá trình rút gọn phân thức $\dfrac{x^2 - a^2}{x - a} = x + a$ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương):

Giá trị a = 2

Điểm cam ⭕ = điểm không xác định ($x = 2$) | Đường đỏ nét đứt = tiệm cận đứng

Phân thức đang xét:

(x^2 - 4) ÷ (x - 2) = x + 2   |   x ≠ 2

🔑 5. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Tính chất 1 — Nhân tử và mẫu: Nếu nhân tử và mẫu với cùng một đa thức $M \neq 0$:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$

Tính chất 2 — Chia tử và mẫu: Nếu chia tử và mẫu cho một nhân tử chung $M \neq 0$:

$\frac{A}{B} = \frac{A \div M}{B \div M}$

Hệ quả — Rút gọn phân thức: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rồi chia cho các nhân tử chung.

Ví dụ 4: Chứng minh $\dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{1}{x-1}$ (với $x \neq \pm 1$).

$\frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1} \checkmark$

Ví dụ 5: Biến đổi $\dfrac{3}{x-2}$ thành phân thức có mẫu $x^2-4$.

$\frac{3}{x-2} = \frac{3 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x+6}{x^2-4}$

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Biểu thức nào sau đây **không** phải là phân thức đại số?

A$\dfrac{x+1}{x-2}$B$\dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 3}$C$\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$D$\dfrac{x^3}{5}$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Bài toán vận tốc:

Một người đi xe đạp từ A đến B, quãng đường $d$ km. Lúc đi, vận tốc $v$ km/h. Lúc về, vận tốc tăng thêm 5 km/h.

• Thời gian đi: $t_1 = \dfrac{d}{v}$ (giờ)
• Thời gian về: $t_2 = \dfrac{d}{v+5}$ (giờ)
• Tổng thời gian: $T = \dfrac{d}{v} + \dfrac{d}{v+5} = \dfrac{d(v+5) + dv}{v(v+5)} = \dfrac{d(2v+5)}{v(v+5)}$

ĐKXĐ: $v \neq 0$ và $v \neq -5$ (thực tế $v > 0$)

Nếu $d = 60$ km, $v = 15$ km/h: $T = \dfrac{60 \cdot 35}{15 \cdot 20} = \dfrac{2100}{300} = 7$ giờ. ✓

---

📝 Bài toán 2 — Bài toán năng suất:

Máy A làm xong công việc trong $a$ ngày, máy B làm trong $b$ ngày. Cả hai máy làm cùng nhau:

• Mỗi ngày máy A làm được: $\dfrac{1}{a}$ công việc
• Mỗi ngày máy B làm được: $\dfrac{1}{b}$ công việc
• Cả hai: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab}$ công việc/ngày
• Thời gian hoàn thành: $T = \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{ab}{a+b} \text{ (ngày)}$

💡 Thử với a = 6, b = 4

$T = \dfrac{6 \times 4}{6 + 4} = \dfrac{24}{10} = 2{,}4$ ngày

Kiểm tra: Mỗi ngày hai máy làm $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2+3}{12} = \dfrac{5}{12}$ → trong 2,4 ngày làm được $\dfrac{5}{12} \times 2{,}4 = 1$ công việc ✓

⭐ Ghi nhớ

• Phân thức đại số $\dfrac{A}{B}$: $A$, $B$ là đa thức, $B \neq 0$
• ĐKXĐ: tất cả giá trị của biến để mẫu $\neq 0$
• Hai phân thức bằng nhau: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \Leftrightarrow A \cdot D = B \cdot C$
• Rút gọn: phân tích tử & mẫu, chia cho nhân tử chung
• Mọi đa thức đều là phân thức (mẫu = 1)

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Cho các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức đại số?

a) $\dfrac{x^2+1}{x-3}$

b) $\dfrac{\sqrt{x+1}}{x^2}$

c) $\dfrac{2x-5}{3}$

d) $x^3 - 2x + 1$

Bài 2 (Dễ): Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) $\dfrac{x+5}{x-7}$

b) $\dfrac{2x}{x^2-9}$

c) $\dfrac{x-1}{x^2+4}$

d) $\dfrac{3}{x(x-2)(x+3)}$

Bài 3 (Trung bình): Rút gọn các phân thức sau:

a) $\dfrac{x^2-25}{x+5}$ (với $x \neq -5$)

b) $\dfrac{3x^2+6x}{x^2+2x}$ (với $x \neq 0, -2$)

c) $\dfrac{x^3-27}{x^2-9}$ (với $x \neq \pm 3$)

d) $\dfrac{2x^2-8}{x^2-4x+4}$ (với $x \neq 2$)

Bài 4 (Khá): Cho phân thức $P = \dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$

a) Tìm điều kiện xác định của $P$.

b) Rút gọn $P$.

c) Tính giá trị của $P$ khi $x = 3$.

d) Tìm $x$ để $P = \dfrac{1}{3}$.

e) Tìm $x$ để $P$ không xác định.

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế): Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc $v$ km/h, quãng đường AB dài $d = v^2 - 16$ km.

a) Viết biểu thức tính thời gian đi từ A đến B theo $v$.

b) Rút gọn biểu thức thời gian nếu biết thời gian thực tế là $t = v - 4$ giờ.

c) Tính vận tốc thực tế của ô tô theo $v$.

d) Nếu $v = 20$ km/h, tính quãng đường AB và thời gian đi.

e) Với vận tốc nào thì thời gian đi là 10 giờ?

📊 Đáp số

Bài 1: a) Có; b) Không (tử có căn thức); c) Có; d) Có (mẫu = 1)

Bài 2: a) $x \neq 7$; b) $x \neq \pm 3$; c) Mọi $x \in \mathbb{R}$; d) $x \neq 0, 2, -3$

Bài 3: a) $x-5$; b) $3$; c) $\dfrac{x^2+3x+9}{x+3}$; d) $\dfrac{2(x+2)}{x-2}$

Bài 4: a) $x \neq \pm 2$; b) $\dfrac{x-2}{x+2}$; c) $\dfrac{1}{5}$; d) $x = 4$; e) $x = \pm 2$

Bài 5: a) $t = \dfrac{v^2-16}{v}$; b) $v_{tt} = \dfrac{v^2-16}{v-4} = v+4$ km/h; c) $v+4$ km/h; d) AB = 384 km, t = 16 giờ; e) $v = 6$ km/h