Lớp 8 · Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn

Bài 39: Hình chóp tứ giác đều

🚀 Khởi động

🏛️ Kim tự tháp Giza — Kỳ quan thế giới

Kim tự tháp Giza ở Ai Cập là hình chóp tứ giác đều lớn nhất thế giới, được xây dựng cách đây hơn 4500 năm!

🏛️

Kim tự tháp Giza

Cạnh đáy: 230 m, cao: 146 m

🏢

Bảo tàng Louvre

Kim tự tháp kính hiện đại

🎪

Mái nhà

Dạng chóp tứ giác

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm hình chóp tứ giác đều

Định nghĩa: Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có:

Đáy là hình vuông
Chân đường cao trùng với tâm (giao điểm hai đường chéo) của hình vuông đáy
Bốn cạnh bên bằng nhau
Bốn mặt bên là các tam giác cân bằng nhau

Hình minh họa:

Các thành phần:

Đỉnh: $S$
Đáy: Hình vuông $ABCD$ (cạnh $a$ )
Tâm đáy: $O$ (giao điểm hai đường chéo)
Chiều cao: $SO = h$
Cạnh bên: $SA = SB = SC = SD$

🔍 2. Tính chất

Tính chất của hình chóp tứ giác đều:

Bốn cạnh bên bằng nhau: $SA = SB = SC = SD$
Bốn mặt bên là tam giác cân bằng nhau
Chân đường cao $O$ là tâm hình vuông đáy
Các đường cao của mặt bên (trung đoạn) bằng nhau
Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau

📐 3. Công thức tính toán

a) Diện tích đáy (hình vuông cạnh $a$ ):

$S_{\\text{đáy}} = a^2$

b) Thể tích:

$V = \\frac{1}{3} \\times S_{\\text{đáy}} \\times h = \\frac{a^2h}{3}$

c) Diện tích xung quanh:

$S_{xq} = 4 \\times S_{\\text{mặt bên}} = 2ad$

trong đó $d$ là trung đoạn (đường cao) của mặt bên.

d) Diện tích toàn phần:

$S_{tp} = S_{xq} + S_{\\text{đáy}} = 2ad + a^2$

e) Quan hệ giữa các yếu tố:

Gọi $d$ là trung đoạn, $l$ là cạnh bên, $AC$ là đường chéo đáy:

$AC = a\\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông)
$OA = \\frac{a\\sqrt{2}}{2}$ (nửa đường chéo)
$l^2 = h^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\right)^2 = h^2 + \\frac{a^2}{2}$ (Pythagore trong $\\triangle SOA$ )
$d^2 = h^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2$ (Pythagore trong tam giác vuông)

✏️ 4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a = 10$ cm, chiều cao $h = 12$ cm. Tính thể tích.

Giải:

Diện tích đáy: $S_{\\text{đáy}} = 10^2 = 100$ cm²

Thể tích: $V = \\frac{1}{3} \\times 100 \\times 12 = 400$ cm³

Ví dụ 2: Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $8$ cm. Biết cạnh bên dài $10$ cm. Tính chiều cao.

Giải:

Nửa đường chéo đáy: $OA = \\frac{8\\sqrt{2}}{2} = 4\\sqrt{2}$ cm

Trong tam giác vuông $SOA$ : $h^2 + (4\\sqrt{2})^2 = 10^2$

$h^2 = 100 - 32 = 68$

$h = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17} \\approx 8{,}25$ cm

Ví dụ 3: Kim tự tháp Giza có đáy hình vuông cạnh $230$ m, chiều cao $146$ m. Tính thể tích.

Giải:

$S_{\\text{đáy}} = 230^2 = 52{.}900$ m²

$V = \\frac{1}{3} \\times 52{.}900 \\times 146 \\approx 2{.}583{.}283$ m³

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Hình chóp tứ giác đều có đáy là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một mái nhà có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy $12$ m và chiều cao $5$ m. Tính thể tích không gian bên dưới mái.

Giải:

$S_{\\text{đáy}} = 12^2 = 144$ m²

$V = \\frac{1}{3} \\times 144 \\times 5 = 240$ m³

📝 Bài toán 2: Một bể chứa nước có dạng hình chóp tứ giác đều úp ngược, cạnh đáy $2$ m, chiều cao $3$ m. Tính thể tích nước tối đa có thể chứa.

Giải:

$V = \\frac{1}{3} \\times 2^2 \\times 3 = 4$ m³ = $4000$ lít

📝 Bài toán 3: Một mô hình kim tự tháp bằng gỗ có cạnh đáy $30$ cm, chiều cao $40$ cm. Tính khối lượng gỗ cần dùng, biết khối lượng riêng của gỗ là $0{,}6$ g/cm³.

Giải:

$V = \\frac{1}{3} \\times 30^2 \\times 40 = 12{.}000$ cm³

Khối lượng: $12{.}000 \\times 0{,}6 = 7{.}200$ g = $7{,}2$ kg

📝 Bài toán 4: Kim tự tháp Louvre ở Paris có đáy hình vuông cạnh $35$ m và chiều cao $21{,}6$ m. So sánh thể tích với kim tự tháp Giza (tỉ lệ bao nhiêu lần?).

Giải:

Thể tích Louvre: $V_L = \\frac{1}{3} \\times 35^2 \\times 21{,}6 = 8{.}820$ m³

Thể tích Giza: $V_G \\approx 2{.}583{.}283$ m³

Tỉ lệ: $\\frac{V_G}{V_L} = \\frac{2{.}583{.}283}{8{.}820} \\approx 293$ lần

Kim tự tháp Giza lớn hơn gần 300 lần!

⭐ Ghi nhớ

Đáy: Hình vuông cạnh $a$
Chân đường cao: Tâm hình vuông (giao điểm đường chéo)
Diện tích đáy: $S = a^2$
Thể tích: $V = \\frac{1}{3}a^2h$
Cạnh bên: Bằng nhau, $l^2 = h^2 + \\frac{a^2}{2}$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a = 8$ cm.

a) Tính diện tích đáy

b) Biết chiều cao $h = 6$ cm, tính thể tích hình chóp

c) Nếu tăng cạnh đáy lên gấp 3 lần nhưng giữ nguyên chiều cao, thể tích tăng lên bao nhiêu lần?

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $AB = 12$ cm và cạnh bên $SA = 15$ cm.

a) Tính độ dài đường chéo $AC$ của hình vuông đáy

b) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Tính $OA$

c) Tính chiều cao $SO$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

d) Tính thể tích hình chóp (làm tròn đến hàng đơn vị)

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều $S.MNPQ$ có diện tích đáy $144$ cm² và thể tích $288$ cm³.

a) Tính cạnh đáy của hình chóp

b) Tính chiều cao của hình chóp

c) Nếu tăng chiều cao lên gấp đôi, thể tích tăng lên bao nhiêu phần trăm?

Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Kim tự tháp Khafre ở Ai Cập có đáy hình vuông cạnh $215$ m và chiều cao $143$ m.

a) Tính thể tích kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn)

b) Biết khối lượng riêng của đá là $2{,}5$ tấn/m³, tính tổng khối lượng đá (làm tròn đến hàng triệu tấn)

c) Kim tự tháp Giza có thể tích khoảng $2{.}583{.}283$ m³. Kim tự tháp nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần?

d) Nếu xây kim tự tháp với tốc độ $1000$ m³/năm, cần bao nhiêu năm để hoàn thành kim tự tháp Khafre?

Bài 5 (Nâng cao): Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a = 16$ cm. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$ , $O$ là tâm hình vuông đáy.

a) Chứng minh $SO \perp (ABCD)$ (SO vuông góc với mặt phẳng đáy)

b) Tính $OM$ theo $a$

c) Biết cạnh bên $SA = 20$ cm, tính chiều cao $SO$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

d) Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ (làm tròn đến hàng đơn vị)

e) Gọi $N$ là trung điểm $SD$ . Tính tỉ số thể tích $\dfrac{V_{S.ABMN}}{V_{S.ABCD}}$

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $S_{\text{đáy}} = 8^2 = 64$ cm²

b) $V = \dfrac{1}{3} \times 64 \times 6 = 128$ cm³

c) Cạnh đáy mới: $3a = 24$ cm

$S'_{\text{đáy}} = 24^2 = 576$ cm²

$V' = \dfrac{1}{3} \times 576 \times 6 = 1152$ cm³

Tỉ số: $\dfrac{V'}{V} = \dfrac{1152}{128} = 9$ lần (vì diện tích tăng $3^2 = 9$ lần)

Bài 2:

a) $AC = AB\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \approx 17$ cm

b) $OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}5$ cm

c) Trong tam giác vuông $SOA$ : $SO^2 + OA^2 = SA^2$

$SO^2 = 15^2 - (6\sqrt{2})^2 = 225 - 72 = 153$

$SO = \sqrt{153} \approx 12{,}4$ cm

d) $S_{\text{đáy}} = 12^2 = 144$ cm²

$V = \dfrac{1}{3} \times 144 \times 12{,}4 \approx 595$ cm³

Bài 3:

a) $a^2 = 144 \Rightarrow a = 12$ cm

b) $V = \dfrac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h$

$288 = \dfrac{1}{3} \times 144 \times h$

$h = \dfrac{288 \times 3}{144} = 6$ cm

c) Chiều cao mới: $h' = 12$ cm

$V' = \dfrac{1}{3} \times 144 \times 12 = 576$ cm³

Tăng: $\dfrac{V' - V}{V} \times 100\% = \dfrac{576 - 288}{288} \times 100\% = 100\%$

Bài 4:

a) $S_{\text{đáy}} = 215^2 = 46{.}225$ m²

$V = \dfrac{1}{3} \times 46{.}225 \times 143 \approx 2{.}204{.}000$ m³

b) Khối lượng: $2{.}204{.}000 \times 2{,}5 = 5{.}510{.}000$ tấn $\approx 6$ triệu tấn

c) Kim tự tháp Giza lớn hơn

Tỉ số: $\dfrac{2{.}583{.}283}{2{.}204{.}000} \approx 1{,}17$ lần

d) Thời gian: $\dfrac{2{.}204{.}000}{1000} = 2204$ năm

Bài 5:

a) Theo định nghĩa hình chóp tứ giác đều, $SO$ là đường cao nên $SO \perp (ABCD)$

b) $O$ là tâm hình vuông, $M$ là trung điểm $AB$

$OM = \dfrac{a}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$ cm

c) $OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ cm

Trong tam giác vuông $SOA$ : $SO^2 = SA^2 - OA^2 = 20^2 - (8\sqrt{2})^2 = 400 - 128 = 272$

$SO = \sqrt{272} = 4\sqrt{17} \approx 16{,}5$ cm

d) $S_{\text{đáy}} = 16^2 = 256$ cm²

$V = \dfrac{1}{3} \times 256 \times 16{,}5 \approx 1408$ cm³

e) $\dfrac{V_{S.ABMN}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{3}{4}$

(Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên diện tích $ABMN$ bằng $\dfrac{3}{4}$ diện tích $ABCD$ , và $N$ là trung điểm $SD$ không ảnh hưởng đến tỉ số thể tích khi tính từ đỉnh $S$ )