🚀 Khởi động

◇ Hình thoi và hình vuông — Đối xứng tuyệt đối

Hai hình có tính đối xứng cao, xuất hiện nhiều trong nghệ thuật và kiến trúc!

💎

Kim cương

Hình thoi hoàn hảo

🎨

Gạch lát

Hình vuông, hình thoi

🪁

Diều

Hình thoi bay cao

🔍 Khám phá

📖 1. Hình thoi

Định nghĩa: Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

Hình minh họa hình thoi:

Tính chất hình thoi:

Định lý: Trong hình thoi:

1. Bốn cạnh bằng nhau
2. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
3. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc

Chứng minh:

Vì hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên bốn cạnh đều bằng nhau.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$:

• $AB = AD$ (cạnh hình thoi)
• $BC = DC$ (cạnh hình thoi)
• $AC$ chung

$\Rightarrow \triangle ABC = \triangle ADC$ (c.c.c)

$\Rightarrow \hat{BAC} = \hat{DAC}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $AC$ là phân giác của $\hat{A}$. Tương tự cho các góc khác.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi:

1. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
2. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
3. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Công thức:

• Chu vi: $P = 4a$ (với $a$ là độ dài cạnh)
• Diện tích: $S = \frac{d_1 \times d_2}{2}$ (với $d_1$, $d_2$ là độ dài hai đường chéo)

Ví dụ 1: Hình thoi có cạnh $10$ cm, hai đường chéo $16$ cm và $12$ cm. Tính chu vi và diện tích.

Giải:

Chu vi: $P = 4 \times 10 = 40$ cm

Diện tích: $S = \frac{16 \times 12}{2} = 96$ cm²

📖 2. Hình vuông

Định nghĩa: Hình vuông là:

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, hoặc
• Hình thoi có một góc vuông

Hình minh họa hình vuông:

Tính chất hình vuông:

Định lý: Hình vuông có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi:

1. Bốn cạnh bằng nhau
2. Bốn góc vuông
3. Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm
4. Hai đường chéo là phân giác các góc

Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc
3. Hình thoi có một góc vuông
4. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau

Công thức:

• Chu vi: $P = 4a$ (với $a$ là độ dài cạnh)
• Diện tích: $S = a^2$ hoặc $S = \frac{d^2}{2}$ (với $d$ là độ dài đường chéo)
• Đường chéo: $d = a\sqrt{2}$

Ví dụ 2: Hình vuông có cạnh $8$ cm. Tính chu vi, diện tích và độ dài đường chéo.

Giải:

Chu vi: $P = 4 \times 8 = 32$ cm

Diện tích: $S = 8^2 = 64$ cm²

Đường chéo: $d = 8\sqrt{2} \approx 11{,}31$ cm

🔍 3. So sánh các hình tứ giác

Hình	Cạnh	Góc	Đường chéo
Hình bình hành	Cạnh đối bằng nhau	Góc đối bằng nhau	Cắt nhau tại trung điểm
Hình chữ nhật	Cạnh đối bằng nhau	Bốn góc vuông	Bằng nhau, cắt tại trung điểm
Hình thoi	Bốn cạnh bằng nhau	Góc đối bằng nhau	Vuông góc, cắt tại trung điểm
Hình vuông	Bốn cạnh bằng nhau	Bốn góc vuông	Bằng nhau, vuông góc, cắt tại trung điểm

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Hình thoi là hình bình hành có:

AHai cạnh kề bằng nhauBBốn góc vuôngCHai đường chéo bằng nhauDMột góc vuông

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Hình thoi: Một tấm biển báo giao thông hình thoi có cạnh $40$ cm, hai đường chéo $60$ cm và $48$ cm.

a) Tính chu vi tấm biển.

b) Tính diện tích tấm biển.

c) Nếu sơn với giá $50.000$ đồng/m², tính chi phí.

Giải:

a) Chu vi: $P = 4 \times 40 = 160$ cm

b) Diện tích: $S = \frac{60 \times 48}{2} = 1440$ cm² = $0{,}144$ m²

c) Chi phí: $0{,}144 \times 50.000 = 7.200$ đồng

📝 Bài toán 2 — Hình vuông: Một sân chơi hình vuông có cạnh $20$ m.

a) Tính chu vi sân chơi.

b) Tính diện tích sân chơi.

c) Nếu lát gạch với giá $250.000$ đồng/m², tính chi phí.

d) Tính độ dài đường chéo sân chơi.

Giải:

a) Chu vi: $P = 4 \times 20 = 80$ m

b) Diện tích: $S = 20^2 = 400$ m²

c) Chi phí: $400 \times 250.000 = 100.000.000$ đồng

d) Đường chéo: $d = 20\sqrt{2} \approx 28{,}28$ m

⭐ Ghi nhớ

Hình thoi:

• Định nghĩa: hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
• Tính chất: bốn cạnh bằng nhau, đường chéo vuông góc
• Chu vi: $P = 4a$
• Diện tích: $S = \frac{d_1 \times d_2}{2}$

Hình vuông:

• Định nghĩa: hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
• Tính chất: bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông, đường chéo bằng nhau và vuông góc
• Chu vi: $P = 4a$
• Diện tích: $S = a^2$
• Đường chéo: $d = a\sqrt{2}$

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh $10$ cm, hai đường chéo $16$ cm và $12$ cm.

a) Tính chu vi hình thoi.

b) Tính diện tích hình thoi.

c) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Tính $OA$, $OB$.

d) Chứng minh $AC \perp BD$.

Bài 2: Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = BC$.

a) Chứng minh $ABCD$ là hình thoi.

b) Biết $AB = 8$ cm, tính chu vi.

c) Biết hai đường chéo $12$ cm và $10$ cm, tính diện tích.

d) Chứng minh $AC$ là phân giác của $\hat{A}$.

Bài 3: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $12$ cm.

a) Tính chu vi hình vuông.

b) Tính diện tích hình vuông.

c) Tính độ dài đường chéo $AC$.

d) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Tính $OA$.

Bài 4: Chứng minh:

a) Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

c) Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

d) Trong hình vuông, đường chéo là phân giác các góc.

Bài 5: Cho hình thoi $ABCD$ có $\hat{A} = 60°$, cạnh $8$ cm.

a) Tính các góc $\hat{B}$, $\hat{C}$, $\hat{D}$.

b) Tính chu vi hình thoi.

c) Chứng minh $\triangle ABD$ đều.

d) Tính độ dài đường chéo $BD$.

Bài 6 (Thực tế): Một mảnh vườn hình vuông có cạnh $15$ m.

a) Tính chu vi mảnh vườn.

b) Tính diện tích mảnh vườn.

c) Nếu rào xung quanh với giá $100.000$ đồng/m, tính chi phí.

d) Nếu tăng cạnh thêm $3$ m, diện tích tăng thêm bao nhiêu?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $40$ cm; b) $96$ cm²; c) $OA = 8$ cm, $OB = 6$ cm; d) Tính chất hình thoi

Bài 2: a) Dấu hiệu 1; b) $32$ cm; c) $60$ cm²; d) Tính chất hình thoi

Bài 3: a) $48$ cm; b) $144$ cm²; c) $12\sqrt{2} \approx 16{,}97$ cm; d) $6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ cm

Bài 4: Chứng minh bằng định lý và tính chất

Bài 5: a) $\hat{B} = \hat{D} = 120°$, $\hat{C} = 60°$; b) $32$ cm; c) Chứng minh bằng c.c.c; d) $8$ cm

Bài 6: a) $60$ m; b) $225$ m²; c) $6.000.000$ đồng; d) Tăng $99$ m²