🚀 Khởi động

▭ Hình chữ nhật — Hình quen thuộc nhất

Hình chữ nhật là hình học phổ biến nhất trong cuộc sống!

📱

Màn hình

Điện thoại, TV, máy tính

📄

Giấy tờ

Sách vở, tài liệu

🏠

Kiến trúc

Cửa, cửa sổ, phòng

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa hình chữ nhật

Định nghĩa: Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông.

Hình minh họa:

Trong hình chữ nhật $ABCD$:

• $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90°$
• $AB = DC$ (chiều dài), $AD = BC$ (chiều rộng)
• $AC = BD$ (hai đường chéo bằng nhau)

🔑 2. Tính chất hình chữ nhật

Định lý: Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và:

1. Bốn góc đều là góc vuông
2. Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Chứng minh:

Vì hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông nên:

• Các góc đối bằng nhau $\Rightarrow$ có hai góc vuông
• Hai góc kề một cạnh bù nhau $\Rightarrow$ hai góc còn lại cũng vuông
• Vậy bốn góc đều vuông

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DCB$:

• $AB = DC$ (cạnh đối hình bình hành)
• $BC$ chung
• $\hat{ABC} = \hat{DCB} = 90°$

$\Rightarrow \triangle ABC = \triangle DCB$ (c.g.c)

$\Rightarrow AC = DB$ (hai cạnh tương ứng)

Tính chất tổng hợp:

1. Bốn góc vuông: $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90°$
2. Các cạnh đối bằng nhau: $AB = DC$, $AD = BC$
3. Hai đường chéo bằng nhau: $AC = BD$
4. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm: $OA = OC = OB = OD = \frac{AC}{2} = \frac{BD}{2}$

Ví dụ 1: Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 12$ cm, $BC = 5$ cm. Tính chu vi và độ dài đường chéo.

Giải:

Chu vi: $P = 2(AB + BC) = 2(12 + 5) = 34$ cm

Đường chéo: Áp dụng định lý Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $B$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ cm

✓ 3. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật:

1. Hình bình hành có một góc vuông
2. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
3. Tứ giác có ba góc vuông
4. Hình thang cân có một góc vuông

Ví dụ 2: Hình bình hành $ABCD$ có $AC = BD$. Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật.

Giải:

Hình bình hành $ABCD$ có $AC = BD$ (hai đường chéo bằng nhau)

$\Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu 2)

Ví dụ 3: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 90°$. Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật.

Giải:

Tứ giác $ABCD$ có ba góc vuông

$\Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu 3)

📐 4. Công thức

Chu vi: $P = 2(a + b)$

Diện tích: $S = a \times b$

Đường chéo: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ (định lý Pythagore)

(với $a$ là chiều dài, $b$ là chiều rộng)

Ví dụ 4: Hình chữ nhật có chu vi $28$ cm, chiều dài $10$ cm. Tính chiều rộng và diện tích.

Giải:

Chiều rộng: $b = \frac{P}{2} - a = \frac{28}{2} - 10 = 4$ cm

Diện tích: $S = 10 \times 4 = 40$ cm²

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Hình chữ nhật là hình bình hành có:

AMột góc vuôngBBốn góc vuôngCHai đường chéo vuông gócDBốn cạnh bằng nhau

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Một phòng học hình chữ nhật có chiều dài $8$ m, chiều rộng $6$ m.

a) Tính chu vi phòng học.

b) Tính diện tích phòng học.

c) Nếu lát gạch với giá $300.000$ đồng/m², tính chi phí.

d) Tính độ dài đường chéo phòng học.

Giải:

a) Chu vi: $P = 2(8 + 6) = 28$ m

b) Diện tích: $S = 8 \times 6 = 48$ m²

c) Chi phí: $48 \times 300.000 = 14.400.000$ đồng

d) Đường chéo: $d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ m

⭐ Ghi nhớ

• Định nghĩa: hình bình hành có một góc vuông
• Tính chất: bốn góc vuông, hai đường chéo bằng nhau
• Dấu hiệu: 4 cách nhận biết
• Chu vi: $P = 2(a + b)$
• Diện tích: $S = a \times b$
• Đường chéo: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 15$ cm, $BC = 8$ cm.

a) Tính chu vi hình chữ nhật.

b) Tính diện tích hình chữ nhật.

c) Tính độ dài đường chéo $AC$.

d) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Tính $OA$, $OB$.

Bài 2: Cho hình bình hành $ABCD$ có $AC = BD$.

a) Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật.

b) Biết $AB = 12$ cm, $BC = 9$ cm, tính chu vi.

c) Tính diện tích.

d) Tính độ dài đường chéo.

Bài 3: Hình chữ nhật có:

a) Chiều dài $20$ cm, chiều rộng $12$ cm. Tính chu vi và diện tích.

b) Chu vi $60$ cm, chiều dài $18$ cm. Tính chiều rộng và diện tích.

c) Diện tích $96$ cm², chiều dài $12$ cm. Tính chiều rộng và chu vi.

d) Đường chéo $13$ cm, chiều dài $12$ cm. Tính chiều rộng và diện tích.

Bài 4: Chứng minh:

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

d) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Bài 5: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $O$ là giao điểm hai đường chéo, $AB = 16$ cm, $BC = 12$ cm.

a) Tính $AC$, $BD$.

b) Tính $OA$, $OB$, $OC$, $OD$.

c) Chứng minh $OA = OB = OC = OD$.

d) Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$.

Bài 6 (Thực tế): Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài $25$ m, chiều rộng $15$ m.

a) Tính chu vi mảnh vườn.

b) Tính diện tích mảnh vườn.

c) Nếu rào xung quanh với giá $80.000$ đồng/m, tính chi phí.

d) Nếu tăng chiều dài thêm $5$ m, diện tích tăng thêm bao nhiêu?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $46$ cm; b) $120$ cm²; c) $17$ cm; d) $OA = OB = 8{,}5$ cm

Bài 2: a) Dấu hiệu 2; b) $42$ cm; c) $108$ cm²; d) $15$ cm

Bài 3: a) $P = 64$ cm, $S = 240$ cm²; b) $b = 12$ cm, $S = 216$ cm²; c) $b = 8$ cm, $P = 40$ cm; d) $b = 5$ cm, $S = 60$ cm²

Bài 4: Chứng minh bằng định lý và tính chất

Bài 5: a) $AC = BD = 20$ cm; b) $OA = OB = OC = OD = 10$ cm; c, d) Chứng minh bằng tính chất

Bài 6: a) $80$ m; b) $375$ m²; c) $6.400.000$ đồng; d) Tăng $75$ m²