Lớp 8 · Chương IV: Định lí Thales

Ôn tập chương 4 - Toán 8

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập chương 4 — Định lí Thales

Chương 4 giới thiệu một trong những định lí quan trọng nhất của hình học: Định lí Thales!

📏

Định lí Thales

Tỉ lệ đoạn thẳng

➗

Đường trung bình

Tính chất và ứng dụng

✂️

Đường phân giác

Chia cạnh tỉ lệ

🔍 Khám phá

📖 I. LÝ THUYẾT

1. Định lí Thales

Định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó chia hai cạnh đó thành các đoạn tỉ lệ.

Phát biểu toán học: Trong tam giác ABC, nếu MN song song với BC (M ∈ AB, N ∈ AC) thì: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

Định lí Thales đảo: Nếu một đường thẳng chia hai cạnh của tam giác thành các đoạn tỉ lệ thì nó song song với cạnh thứ ba.

2. Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh.

Tính chất: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Phát biểu toán học: Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC thì: $MN \parallel BC \text{ và } MN = \frac{BC}{2}$

Hệ quả: Ba đường trung bình của tam giác tạo thành một tam giác có:

Các cạnh song song với các cạnh của tam giác ban đầu
Diện tích bằng $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác ban đầu
Chu vi bằng $\frac{1}{2}$ chu vi tam giác ban đầu

3. Tính chất đường phân giác

Tính chất: Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.

Phát biểu toán học: Trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc A (D ∈ BC) thì: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Ứng dụng: Dùng để tìm vị trí điểm D trên BC khi biết AB, AC.

4. Ứng dụng thực tế

Đo chiều cao: Dùng Thales để đo chiều cao của các vật thể
Chia đoạn thẳng: Chia một đoạn thẳng thành các phần bằng nhau
Xác định song song: Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không
Tính toán khoảng cách: Tính khoảng cách gián tiếp

✏️ Luyện tập

📝 II. LUYỆN TẬP - TRẮC NGHIỆM

Câu 1 / 18

Dễ0 đã trả lời

Định lí Thales phát biểu rằng: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì:

🌍 Vận dụng

🌍 III. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Áp dụng Định lí Thales

a) Trong tam giác ABC, MN song song với BC (M ∈ AB, N ∈ AC). Nếu AM = 3cm, MB = 2cm, AN = 4.5cm, tính NC

b) Cho tam giác ABC, M trên AB, N trên AC sao cho MN song song BC. Nếu AM = 2cm, AB = 5cm, AC = 7.5cm, tính AN

c) Chứng minh rằng nếu MN song song BC thì $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

d) Trong tam giác ABC, lấy M, N sao cho $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{2}{3}$ . Chứng minh MN song song BC

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Theo Thales: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ → $\frac{3}{2} = \frac{4.5}{NC}$ → $NC = 3$ cm

b) $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ → $\frac{2}{5} = \frac{AN}{7.5}$ → $AN = 3$ cm

c) Vì MN // BC, theo Thales: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ → $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

d) Vì $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ , theo định lí Thales đảo: MN // BC

Bài 2: Đường trung bình tam giác

a) Trong tam giác ABC, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. Chứng minh MN song song BC và MN = BC/2

b) Tam giác ABC có AB = 10cm, AC = 12cm, BC = 14cm. Tính chu vi tam giác tạo bởi ba đường trung bình

c) Nếu tam giác ABC có diện tích 48cm², tính diện tích tam giác tạo bởi ba đường trung bình

d) Chứng minh ba đường trung bình chia tam giác thành 4 tam giác bằng nhau

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Theo Thales: MN // BC và MN = BC/2

b) Chu vi tam giác trung bình = $\frac{10 + 12 + 14}{2} = 18$ cm

c) Diện tích tam giác trung bình = $\frac{48}{4} = 12$ cm²

d) Ba đường trung bình tạo 4 tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu, mỗi tam giác có diện tích 1/4

Bài 3: Đường phân giác tam giác

a) Trong tam giác ABC, AD là đường phân giác (D trên BC). Nếu AB = 6cm, AC = 9cm, BD = 4cm, tính DC

b) Tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 12cm, BC = 10cm. Đường phân giác AD chia BC thành hai đoạn. Tính BD và DC

c) Chứng minh rằng $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

d) Nếu BD = 3cm, DC = 5cm, AB = 6cm, tính AC

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ → $\frac{4}{DC} = \frac{6}{9}$ → $DC = 6$ cm

b) $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ BD + DC = 10 → BD = 4cm, DC = 6cm

c) Theo tính chất đường phân giác

d) $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ → $\frac{3}{5} = \frac{6}{AC}$ → $AC = 10$ cm

Bài 4: Bài toán tổng hợp

a) Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm, BC = 15cm. M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Tính MN

b) Trong tam giác ABC, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, P là trung điểm BC. Chứng minh BMNP là hình bình hành

c) Tam giác ABC có chu vi 60cm. Tính chu vi tam giác tạo bởi ba đường trung bình

d) Nếu tam giác ABC có diện tích 100cm², tính diện tích tam giác tạo bởi ba đường trung bình

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) MN = BC/2 = 15/2 = 7.5cm

b) MN // BC và MN = BC/2 → BMNP là hình bình hành

c) Chu vi tam giác trung bình = 60/2 = 30cm

d) Diện tích tam giác trung bình = 100/4 = 25cm²

Bài 5: Bài toán thực tế

a) Một cây cột cao 8m có bóng dài 6m. Cùng lúc đó, một cây khác có bóng dài 9m. Tính chiều cao cây thứ hai (dùng Thales)

b) Một con đường song song với một cạnh của tam giác. Nếu con đường cắt hai cạnh còn lại tại M, N với AM = 4km, MB = 6km, AN = 5km, tính NC

c) Một tam giác có ba cạnh 20cm, 24cm, 28cm. Tính chu vi tam giác tạo bởi ba đường trung bình

d) Một mảnh đất hình tam giác có diện tích 200m². Tính diện tích phần đất giữa ba đường trung bình

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Dùng Thales: $\frac{8}{6} = \frac{h}{9}$ → $h = 12$ m

b) $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ → $\frac{4}{6} = \frac{5}{NC}$ → $NC = 7.5$ km

c) Chu vi = (20 + 24 + 28)/2 = 36cm

d) Diện tích phần giữa = 200/4 = 50m²

Bài 6: Bài toán nâng cao (Câu lớn)

Cho tam giác ABC với AB = 10cm, AC = 15cm, BC = 12cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC.

a) Tính MN, NP, PM

b) Chứng minh tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC

c) Tính tỉ số đồng dạng

d) Nếu diện tích ABC = 60cm², tính diện tích MNP

e) Tính chu vi tam giác MNP

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) MN = BC/2 = 6cm, NP = AB/2 = 5cm, PM = AC/2 = 7.5cm

b) Các cạnh tương ứng tỉ lệ → tam giác MNP ~ ABC

c) Tỉ số đồng dạng = 1/2

d) Diện tích MNP = 60/4 = 15cm²

e) Chu vi MNP = (10 + 15 + 12)/2 = 18.5cm

Bài 7: Bài toán nâng cao (Câu lớn)

Cho tam giác ABC với AB = 12cm, AC = 18cm, BC = 15cm. AD là đường phân giác (D trên BC).

a) Tính BD và DC

b) Tính tỉ số $\frac{BD}{DC}$

c) Nếu M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, chứng minh MN // BC

d) Tính MN

e) Chứng minh rằng MN = $\frac{BC}{2}$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ BD + DC = 15 → BD = 6cm, DC = 9cm

b) $\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}$

c) M, N là trung điểm → MN // BC (theo Thales)

d) MN = BC/2 = 7.5cm

e) Theo tính chất đường trung bình

⭐ Ghi nhớ

💡 Những điều cần ghi nhớ

Định lí Thales: Nếu MN // BC thì $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
Định lí Thales đảo: Nếu $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ thì MN // BC
Đường trung bình: Song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó
Đường phân giác: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
Ba đường trung bình: Tạo tam giác có diện tích 1/4 tam giác ban đầu
Tỉ số đồng dạng: Nếu MN // BC thì tỉ số = $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$