🚀 Khởi động

📐 Đường phân giác — Chia theo tỉ lệ

Đường phân giác có tính chất đặc biệt về chia tỉ lệ!

⚖️

Cân bằng

Chia theo tỉ lệ công bằng

🎯

Chính xác

Tính toán khoảng cách

📊

Phân chia

Chia tài sản, đất đai

🔍 Khám phá

📖 1. Ôn tập: Đường phân giác

Định nghĩa: Đường phân giác của một góc trong tam giác là đường thẳng chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Hình minh họa:

Trong tam giác $ABC$:

• $AD$ là phân giác góc $A$
• $\hat{BAD} = \hat{CAD}$
• $D \in BC$

🔑 2. Tính chất đường phân giác trong

Định lí: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Phát biểu toán học:

Cho tam giác $ABC$, $AD$ là phân giác góc $A$ ($D \in BC$).

Khi đó: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$

Chứng minh:

Kẻ $CE \parallel AD$ ($E \in AB$ kéo dài).

Vì $CE \parallel AD$ nên:

• $\hat{DAC} = \hat{ACE}$ (so le trong)
• $\hat{BAD} = \hat{AEC}$ (đồng vị)

Mà $\hat{BAD} = \hat{DAC}$ (AD là phân giác)

$\Rightarrow \hat{ACE} = \hat{AEC}$

$\Rightarrow \triangle ACE$ cân tại $A$

$\Rightarrow AC = AE$

Áp dụng định lí Thales cho $\triangle BCE$ với $AD \parallel CE$:

$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BA}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$

Hệ quả:

Từ $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ suy ra:

1. $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$

2. $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{AC}{DC}$

3. $\dfrac{BD + DC}{DC} = \dfrac{AB + AC}{AC}$ hay $\dfrac{BC}{DC} = \dfrac{AB + AC}{AC}$

Ví dụ 1: Tam giác $ABC$ có $AB = 8$ cm, $AC = 12$ cm, $BC = 15$ cm. Phân giác $AD$ chia $BC$ tại $D$. Tính $BD$ và $DC$.

Giải:

Theo tính chất đường phân giác: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$

Đặt $BD = 2x$, $DC = 3x$

Ta có: $BD + DC = BC$

$\Rightarrow 2x + 3x = 15$

$\Rightarrow 5x = 15$

$\Rightarrow x = 3$

Vậy $BD = 6$ cm, $DC = 9$ cm

↔️ 3. Tính chất đường phân giác ngoài

Định lí: Đường phân giác ngoài của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện (kéo dài) thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Ví dụ 2: Tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm. Phân giác ngoài góc $A$ cắt $BC$ kéo dài tại $E$. Biết $BE = 8$ cm. Tính $EC$.

Giải:

Theo tính chất phân giác ngoài: $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{8}{EC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow EC = \dfrac{8 \times 3}{2} = 12$ cm

Ví dụ 3: Tam giác $ABC$ có $AB = 10$ cm, $AC = 15$ cm, $BC = 18$ cm. Tính độ dài các đoạn mà phân giác góc $B$ chia cạnh $AC$.

Giải:

Gọi $E$ là giao điểm phân giác góc $B$ với $AC$.

Theo tính chất: $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}$

Đặt $AE = 5x$, $EC = 9x$

$AE + EC = AC$

$\Rightarrow 5x + 9x = 15$

$\Rightarrow x = \dfrac{15}{14}$

Vậy $AE = \dfrac{75}{14} \approx 5{,}36$ cm, $EC = \dfrac{135}{14} \approx 9{,}64$ cm

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Trung bình0 đã trả lời

Trong tam giác $ABC$, phân giác $AD$ chia cạnh $BC$ thành hai đoạn $BD$ và $DC$ sao cho:

A$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$B$BD = DC$C$\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$D$BD + DC = AB + AC$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Chia đất: Hai anh em có mảnh đất hình tam giác $ABC$ với $AB = 30$ m, $AC = 45$ m, $BC = 60$ m. Họ muốn chia đất bằng đường thẳng từ $A$ đến cạnh $BC$ sao cho tỉ lệ diện tích bằng tỉ lệ hai cạnh $AB$ và $AC$. Tính độ dài hai đoạn trên $BC$.

Giải:

Để chia theo tỉ lệ diện tích bằng tỉ lệ hai cạnh, cần dùng đường phân giác góc $A$.

Gọi $D$ là giao điểm phân giác với $BC$.

$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$

Đặt $BD = 2x$, $DC = 3x$

$2x + 3x = 60 \Rightarrow x = 12$

Vậy $BD = 24$ m, $DC = 36$ m

📝 Bài toán 2 — Thiết kế: Một tấm biển hình tam giác có hai cạnh $40$ cm và $60$ cm. Muốn chia biển thành hai phần có diện tích tỉ lệ với hai cạnh đó, cần kẻ đường phân giác. Nếu cạnh thứ ba dài $80$ cm, tính độ dài hai đoạn được chia.

Giải:

$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$

$BD + DC = 80$

$\Rightarrow BD = \dfrac{2 \times 80}{2 + 3} = 32$ cm

$\Rightarrow DC = \dfrac{3 \times 80}{2 + 3} = 48$ cm

⭐ Ghi nhớ

• Phân giác trong: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
• Phân giác ngoài: $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC}$ (E ngoài BC)
• Phân giác chia cạnh đối theo tỉ lệ hai cạnh kề
• Công thức tính: $BD = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC}$, $DC = \dfrac{AC \cdot BC}{AB + AC}$

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tam giác $ABC$ có $AB = 9$ cm, $AC = 12$ cm, $BC = 14$ cm. Phân giác $AD$ ($D \in BC$).

a) Tính tỉ số $\dfrac{BD}{DC}$.

b) Tính $BD$ và $DC$.

c) Chứng minh $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$.

d) Tính tỉ số diện tích $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}}$.

Bài 2: Tam giác $ABC$ có $AB = 8$ cm, $AC = 10$ cm.

a) Phân giác $AD$ chia $BC$ sao cho $BD = 6$ cm. Tính $DC$.

b) Tính $BC$.

c) Nếu $BC = 18$ cm, tính $BD$ và $DC$.

d) Phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $E$. Tính $\dfrac{AE}{EC}$.

Bài 3: Tam giác $ABC$ có $AB = 15$ cm, $AC = 20$ cm, $BC = 21$ cm.

a) Phân giác $AD$ chia $BC$ tại $D$. Tính $BD$, $DC$.

b) Phân giác $BE$ chia $AC$ tại $E$. Tính $AE$, $EC$.

c) Phân giác $CF$ chia $AB$ tại $F$. Tính $AF$, $FB$.

d) Tính chu vi tam giác $DEF$.

Bài 4: Chứng minh:

a) Trong tam giác, phân giác chia cạnh đối thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.

b) Nếu $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ và $\hat{BAD} = \hat{CAD}$ thì $AD$ là phân giác.

c) Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm.

d) Trong tam giác cân, phân giác đỉnh đồng thời là đường trung tuyến và đường cao.

Bài 5: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm.

a) Tính $BC$.

b) Phân giác $AD$ chia $BC$ tại $D$. Tính $BD$, $DC$.

c) Tính $AD$ (sử dụng công thức diện tích).

d) Chứng minh $BD + DC = BC$.

Bài 6 (Thực tế): Hai người có mảnh đất hình tam giác với hai cạnh từ góc chung là $50$ m và $70$ m, cạnh đối diện $96$ m.

a) Họ muốn chia đất theo tỉ lệ hai cạnh bằng đường phân giác. Tính độ dài hai đoạn.

b) Tính tỉ số diện tích hai phần.

c) Nếu giá đất $10$ triệu/m², phần nhỏ có giá trị bao nhiêu (biết tổng diện tích $1200$ m²)?

d) Giải thích tại sao phương pháp này công bằng.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\dfrac{3}{4}$; b) $BD = 6$ cm, $DC = 8$ cm; c) Tính chất phân giác; d) $\dfrac{3}{4}$

Bài 2: a) $7{,}5$ cm; b) $13{,}5$ cm; c) $BD = 8$ cm, $DC = 10$ cm; d) $\dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$

Bài 3: a) $BD = 9$ cm, $DC = 12$ cm; b) $AE = \dfrac{300}{36}$ cm, $EC = \dfrac{420}{36}$ cm; c) $AF = \dfrac{225}{35}$ cm, $FB = \dfrac{300}{35}$ cm; d) Tính bằng tổng

Bài 4: Chứng minh bằng định lí và tính chất

Bài 5: a) $10$ cm; b) $BD = \dfrac{15}{4}$ cm, $DC = \dfrac{25}{4}$ cm; c) $\dfrac{24}{7}$ cm; d) Hiển nhiên

Bài 6: a) $40$ m và $56$ m; b) $\dfrac{5}{7}$; c) $5$ tỷ đồng; d) Tỉ lệ diện tích bằng tỉ lệ đóng góp