Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 27: Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

🚀 Khởi động

📊 Mở đầu — Hàm số trong thực tế

Hàm số mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong thực tế:

🚗

Quãng đường

Xe chạy với vận tốc 60 km/h: $S = 60t$

💰

Tiền hàng

Mua $x$ quyển vở, mỗi quyển 5000đ: $T = 5000x$

🌡️

Nhiệt độ

Chuyển đổi Celsius sang Fahrenheit: $F = 1{,}8C + 32$

📐

Chu vi hình vuông

Cạnh $a$ : $P = 4a$

💬 Hàm số giúp ta biểu diễn và nghiên cứu mối quan hệ giữa các đại lượng!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm hàm số

Định nghĩa: Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được duy nhất một giá trị tương ứng của $y$ , thì $y$ được gọi là hàm số của $x$ .

Ký hiệu: $y = f(x)$ , $y = g(x)$ , …

$x$ gọi là biến số (đối số)
$y$ gọi là giá trị của hàm số tại $x$

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = 2x + 1$ .

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = 2x + 1$	$-3$	$-1$	$1$	$3$	$5$	$7$

Với mỗi giá trị của $x$ , ta có duy nhất một giá trị của $y$ .

Lưu ý:

Hàm số có thể cho bởi công thức, bảng, đồ thị, hoặc lời văn.
Tập hợp các giá trị của $x$ gọi là tập xác định của hàm số.

📈 2. Đồ thị của hàm số

Định nghĩa: Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với $x$ thuộc tập xác định và $y = f(x)$ .

Cách vẽ đồ thị hàm số:

Lập bảng giá trị: Chọn một số giá trị của $x$ , tính giá trị tương ứng của $y$
Vẽ các điểm $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ
Nối các điểm lại (nếu hàm số liên tục)

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số $y = x + 1$ .

Giải:

Bước 1: Lập bảng giá trị:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = x + 1$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Bước 2: Vẽ các điểm: $(-2; -1)$ , $(-1; 0)$ , $(0; 1)$ , $(1; 2)$ , $(2; 3)$

Bước 3: Nối các điểm → Đường thẳng

🔬 3. Công cụ vẽ đồ thị tương tác

Thử nghiệm vẽ đồ thị các hàm số khác nhau:

Hệ số góc a = 1

📈 Đồ thị tăng

Tung độ gốc b = 0

Cắt trục Oy tại (0, 0)

y = x

📏 4. Hàm số hằng

Định nghĩa: Hàm số hằng là hàm số có dạng $y = c$ (với $c$ là hằng số).

Đồ thị của hàm số hằng $y = c$ là đường thẳng song song với trục $Ox$ , cắt trục $Oy$ tại điểm $(0; c)$ .

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số $y = 2$ .

Giải:

Với mọi giá trị của $x$ , ta luôn có $y = 2$ .

Đồ thị là đường thẳng song song với $Ox$ , đi qua điểm $(0; 2)$ .

📊 5. Tính chất của hàm số

Hàm số đồng biến: Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên một khoảng nếu với mọi $x_1 < x_2$ trong khoảng đó thì $f(x_1) < f(x_2)$ .

Hàm số nghịch biến: Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên một khoảng nếu với mọi $x_1 < x_2$ trong khoảng đó thì $f(x_1) > f(x_2)$ .

Ví dụ 4: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2x + 1$ .

Giải:

Chọn $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ (với $x_1 < x_2$ ):

$f(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
$f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

Ta có $f(0) < f(1)$ → Hàm số đồng biến.

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Cho hàm số $y = 2x + 1$ . Khi $x = 3$ , giá trị của $y$ là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Chuyển đổi nhiệt độ:

Công thức chuyển đổi từ độ Celsius ( $C$ ) sang độ Fahrenheit ( $F$ ) là: $F = 1{,}8C + 32$ .

a) Tính $F$ khi $C = 0°$ , $C = 100°$

b) Vẽ đồ thị hàm số $F = 1{,}8C + 32$

Giải:

Khi $C = 0°$ : $F = 1{,}8 \cdot 0 + 32 = 32°F$
Khi $C = 100°$ : $F = 1{,}8 \cdot 100 + 32 = 212°F$

b) Lập bảng:

$C$	$0$	$50$	$100$
$F$	$32$	$122$	$212$

Vẽ các điểm và nối lại → Đường thẳng

📝 Bài toán 2 — Cước điện thoại:

Một công ty viễn thông tính cước theo công thức: $T = 1000 + 500n$ (đồng), trong đó $n$ là số phút gọi.

a) Tính tiền cước khi gọi 10 phút, 20 phút

b) Nếu trả 6000đ, gọi được bao nhiêu phút?

Giải:

Gọi 10 phút: $T = 1000 + 500 \cdot 10 = 6000$ đồng
Gọi 20 phút: $T = 1000 + 500 \cdot 20 = 11000$ đồng

b) $1000 + 500n = 6000$

$500n = 5000$ $n = 10 \text{ phút}$

⭐ Ghi nhớ

Hàm số: Mỗi $x$ cho duy nhất một $y$
Ký hiệu: $y = f(x)$
Đồ thị: Tập hợp các điểm $(x; y)$ thỏa mãn $y = f(x)$
Hàm hằng: $y = c$ → Đường thẳng song song $Ox$
Đồng biến: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Cho hàm số $y = 3x - 2$ .

a) Tính giá trị của $y$ khi $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ .

b) Tính giá trị của $x$ khi $y = 4$ , $y = 7$ .

c) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: $A(1; 1)$ , $B(2; 4)$ , $C(0; -2)$ ?

Bài 2 (Dễ): Cho hàm số $y = -2x + 5$ .

a) Lập bảng giá trị của hàm số với $x \in \{-1, 0, 1, 2, 3\}$ .

b) Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

c) Hàm số đồng biến hay nghịch biến? Giải thích.

Bài 3 (Trung bình): Cho hàm số $y = f(x) = x^2 - 1$ .

a) Tính $f(0)$ , $f(1)$ , $f(-1)$ , $f(2)$ .

b) Tìm $x$ biết $f(x) = 3$ , $f(x) = 8$ .

c) Vẽ đồ thị hàm số với $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ .

d) Hàm số này có phải là hàm số bậc nhất không? Giải thích.

Bài 4 (Khá): Cho hai hàm số $y = 2x + 1$ và $y = -x + 4$ .

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị bằng phương pháp đại số.

c) Tìm giá trị của $x$ để hai hàm số có cùng giá trị.

d) Với giá trị nào của $x$ thì hàm số thứ nhất lớn hơn hàm số thứ hai?

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế):

a) Một hãng taxi tính cước theo công thức $T = 10000 + 15000x$ (đồng), trong đó $x$ là số km.

Vẽ đồ thị hàm số với $x \in [0; 10]$ .
Tính tiền cước khi đi 7 km.
Đi được bao nhiêu km nếu trả 100000đ?

b) Nhiệt độ nước trong ấm tăng đều theo thời gian đun. Ban đầu nhiệt độ là 25°C, sau 5 phút là 75°C.

Viết công thức tính nhiệt độ $T$ (°C) theo thời gian $t$ (phút).
Vẽ đồ thị hàm số.
Sau bao lâu nước sôi (100°C)?

c) Một cửa hàng bán áo với giá gốc 200000đ. Cửa hàng giảm giá $x$ % cho khách hàng.

Viết công thức tính giá bán $P$ (đồng) theo $x$ .
Vẽ đồ thị với $x \in [0; 50]$ .
Giảm bao nhiêu % để giá bán còn 150000đ?

d) Một bể nước có dung tích 1000 lít. Ban đầu bể có 200 lít nước. Người ta bơm thêm nước vào bể với lưu lượng 30 lít/phút.

Viết công thức tính lượng nước $V$ (lít) trong bể sau $t$ phút.
Vẽ đồ thị hàm số.
Sau bao lâu thì bể đầy?

e) Một người đi bộ từ A về B với vận tốc 5 km/h. Cùng lúc đó, một người khác đi xe đạp từ B về A với vận tốc 15 km/h. Biết AB = 40 km.

Viết công thức tính khoảng cách giữa hai người theo thời gian $t$ (giờ).
Vẽ đồ thị.
Sau bao lâu hai người gặp nhau?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $y = -2, 1, 4$ ; b) $x = 2, 3$ ; c) $A$ và $C$ thuộc đồ thị

Bài 2: a) Bảng: $(-1, 7), (0, 5), (1, 3), (2, 1), (3, -1)$ ; c) Nghịch biến vì $a = -2 < 0$

Bài 3: a) $f(0) = -1, f(1) = 0, f(-1) = 0, f(2) = 3$ ; b) $x = \pm 2, x = \pm 3$ ; d) Không, vì có $x^2$

Bài 4: b) Giao điểm $(1; 3)$ ; c) $x = 1$ ; d) $x < 1$

Bài 5: a) Tiền cước: 115000đ, Quãng đường: 6 km; b) $T = 10t + 25$ , Thời gian: 7,5 phút; c) $P = 200000(1 - \frac{x}{100})$ , Giảm 25%; d) $V = 30t + 200$ , Thời gian: 26,67 phút; e) $S = 40 - 20t$ , Thời gian: 2 giờ