Lớp 8 · Chương 3: Tứ giác

Bài 11: Hình thang cân

🚀 Khởi động

🏛️ Hình thang cân — Đối xứng đẹp

Hình thang cân có tính đối xứng đặc biệt, xuất hiện nhiều trong kiến trúc!

🏛️

Mái nhà

Hình thang cân đối xứng

🌉

Cầu

Trụ cầu hình thang cân

🪟

Cửa sổ

Thiết kế đối xứng

🔍 Khám phá

📖 1. Ôn tập: Hình thang

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.

Hình minh họa hình thang:

📖 2. Định nghĩa hình thang cân

Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Hình minh họa hình thang cân:

Trong hình thang cân $A B C D$ ( $A B ∥ C D$ ):

$\hat{A} = \hat{B}$ (hai góc kề đáy nhỏ)
$\hat{D} = \hat{C}$ (hai góc kề đáy lớn)

🔑 3. Tính chất hình thang cân

Định lý: Trong hình thang cân:

Hai cạnh bên bằng nhau
Hai đường chéo bằng nhau

Chứng minh:

Xét hình thang cân $A B C D$ có $A B ∥ C D$ , $\hat{A} = \hat{B}$ .

Kẻ $A H ⊥ C D$ , $B K ⊥ C D$ .

Trong hai tam giác vuông $A H D$ và $B K C$ :

$A H = B K$ (cùng chiều cao)
$\hat{D} = \hat{C}$ (hình thang cân)

$\Rightarrow △ A H D = △ B K C$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow A D = B C$ (hai cạnh tương ứng)

Tính chất tổng hợp:

$A D = B C$ (hai cạnh bên bằng nhau)
$A C = B D$ (hai đường chéo bằng nhau)
$\hat{A} = \hat{B}$ và $\hat{D} = \hat{C}$
$\hat{A} + \hat{D} = 180°$ (hai góc kề cạnh bên bù nhau)

✓ 4. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau

Ví dụ: Hình thang $A B C D$ có $A B ∥ C D$ , $A C = B D$ . Chứng minh $A B C D$ là hình thang cân.

Vì $A C = B D$ (hai đường chéo bằng nhau)

$\Rightarrow A B C D$ là hình thang cân (dấu hiệu 3)

📐 5. Công thức

Chu vi: $P = A B + B C + C D + D A = A B + C D + 2 \cdot B C$

(vì $A D = B C$ )

Diện tích: $S = \frac{( A B + C D ) \cdot h}{2}$

(với $h$ là chiều cao)

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Trung bình0 đã trả lời

Hình thang cân là hình thang có:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Một mái nhà hình thang cân có đáy nhỏ $8$ m, đáy lớn $12$ m, cạnh bên $5$ m.

a) Tính chu vi mái nhà.

b) Nếu chiều cao $4$ m, tính diện tích.

Giải:

a) Chu vi $= 8 + 12 + 5 + 5 = 30$ m

b) Diện tích $= \frac{( 8 + 12 ) \times 4}{2} = 40$ m²

⭐ Ghi nhớ

Định nghĩa: hai góc kề một đáy bằng nhau
Tính chất: hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau
Dấu hiệu: 3 cách nhận biết
Chu vi: $P = a + b + 2 c$
Diện tích: $S = \frac{( a + b ) h}{2}$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình thang cân $A B C D$ ( $A B ∥ C D$ ) có $\hat{A} = 70°$ .

a) Tính $\hat{B}$ , $\hat{C}$ , $\hat{D}$ .

b) Chứng minh $A D = B C$ .

c) Chứng minh $A C = B D$ .

d) Tính tổng $\hat{A} + \hat{D}$ .

Bài 2: Cho hình thang $A B C D$ ( $A B ∥ C D$ ) có $A C = B D$ .

a) Chứng minh $A B C D$ là hình thang cân.

b) Biết $\hat{C} = 80°$ , tính các góc còn lại.

c) Nếu $A B = 6$ cm, $C D = 10$ cm, $B C = 5$ cm, tính chu vi.

d) Nếu chiều cao $h = 4$ cm, tính diện tích.

Bài 3: Hình thang cân có:

a) Đáy nhỏ $8$ cm, đáy lớn $14$ cm, cạnh bên $5$ cm. Tính chu vi.

b) Đáy nhỏ $10$ cm, đáy lớn $16$ cm, chiều cao $6$ cm. Tính diện tích.

c) Chu vi $40$ cm, đáy nhỏ $8$ cm, đáy lớn $12$ cm. Tính cạnh bên.

d) Diện tích $60$ cm², đáy nhỏ $7$ cm, đáy lớn $13$ cm. Tính chiều cao.

Bài 4: Chứng minh:

a) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

b) Trong hình thang cân, hai góc kề một cạnh bên bù nhau.

c) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Đường trung bình của hình thang cân song song với hai đáy.

Bài 5: Cho hình thang cân $A B C D$ có $A B = 6$ cm, $C D = 10$ cm, $\hat{D} = 60°$ .

a) Tính $\hat{A}$ , $\hat{B}$ , $\hat{C}$ .

b) Tính độ dài cạnh bên $A D$ .

c) Tính chiều cao của hình thang.

d) Tính diện tích hình thang.

Bài 6 (Thực tế): Một cửa sổ hình thang cân có đáy nhỏ $80$ cm, đáy lớn $120$ cm, chiều cao $60$ cm.

a) Tính diện tích cửa sổ.

b) Nếu làm khung cửa bằng nhôm, biết cạnh bên dài $70$ cm, tính tổng chiều dài nhôm cần dùng.

c) Giá nhôm $50000$ đồng/mét. Tính chi phí làm khung.

d) Nếu tăng đáy nhỏ thêm $20$ cm, diện tích tăng thêm bao nhiêu?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\hat{B} = 70°$ , $\hat{C} = \hat{D} = 110°$ ; b, c) Chứng minh bằng tính chất; d) $180°$

Bài 2: a) Dấu hiệu nhận biết; b) $\hat{D} = 80°$ , $\hat{A} = \hat{B} = 100°$ ; c) $26$ cm; d) $32$ cm²

Bài 3: a) $32$ cm; b) $78$ cm²; c) $10$ cm; d) $6$ cm

Bài 4: Chứng minh bằng định lý và tính chất

Bài 5: a) $\hat{A} = \hat{B} = 120°$ , $\hat{C} = 60°$ ; b) $4$ cm; c) $23$ cm; d) $163$ cm²

Bài 6: a) $6000$ cm² = $0, 6$ m²; b) $3, 4$ m; c) $170.000$ đồng; d) $600$ cm²