Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 29: Hệ số góc của đường thẳng

🚀 Khởi động

📐 Mở đầu — Độ dốc của đường thẳng

Hệ số góc thể hiện độ dốc của đường thẳng:

⛰️
Độ dốc đường

Đường dốc 10% nghĩa là cứ đi 100m theo phương ngang thì lên cao 10m

📊
Tốc độ tăng trưởng

Doanh thu tăng 5 triệu/tháng → Hệ số góc = 5

💬 Hệ số góc cho biết đường thẳng “dốc” như thế nào!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm hệ số góc

Định nghĩa: Trong hàm số bậc nhất y=ax+by = ax + b (với a≠0a \neq 0), hệ số aa được gọi là hệ số góc của đường thẳng y=ax+by = ax + b.

Ký hiệu: k=ak = a

Ý nghĩa hình học: Hệ số góc cho biết độ dốc của đường thẳng so với trục OxOx.

Ví dụ 1: Xác định hệ số góc:

Hàm sốHệ số góc kkGhi chú
y=3x+2y = 3x + 2k=3k = 3Dốc lên
y=−2x+5y = -2x + 5k=−2k = -2Dốc xuống
y=0,5x−1y = 0{,}5x - 1k=0,5k = 0{,}5Dốc lên ít
y=−x+3y = -x + 3k=−1k = -1Dốc xuống 45°

📐 2. Góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox

Cho đường thẳng y=ax+by = ax + b (với a≠0a \neq 0) tạo với trục OxOx góc α\alpha (0°<α<180°0° < \alpha < 180°, α≠90°\alpha \neq 90°).

Mối liên hệ giữa hệ số góc và góc α\alpha:

  1. Nếu a>0a > 0: Góc α\alpha là góc nhọn (0°<α<90°0° < \alpha < 90°)

    • Đường thẳng đi lên từ trái sang phải
    • tan⁡α=a\tan \alpha = a

  2. Nếu a<0a < 0: Góc α\alpha là góc tù (90°<α<180°90° < \alpha < 180°)

    • Đường thẳng đi xuống từ trái sang phải
    • tan⁡(180°−α)=∣a∣\tan(180° - \alpha) = |a|

Ví dụ 2: Xét góc tạo với trục OxOx:

a) y=2x+1y = 2x + 1: a=2>0a = 2 > 0 → Góc nhọn, tan⁡α=2\tan \alpha = 2

b) y=−x+3y = -x + 3: a=−1<0a = -1 < 0 → Góc tù, tan⁡(180°−α)=1\tan(180° - \alpha) = 1 → α=135°\alpha = 135°

c) y=x−2y = x - 2: a=1>0a = 1 > 0 → Góc nhọn, tan⁡α=1\tan \alpha = 1 → α=45°\alpha = 45°

🔢 3. Tính hệ số góc qua hai điểm

Công thức: Đường thẳng đi qua hai điểm A(x1;y1)A(x_1; y_1) và B(x2;y2)B(x_2; y_2) (với x1≠x2x_1 \neq x_2) có hệ số góc:

k=y2−y1x2−x1=ΔyΔxk = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Ví dụ 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua A(1;2)A(1; 2) và B(3;8)B(3; 8).

Giải:

k=yB−yAxB−xA=8−23−1=62=3k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3

Vậy hệ số góc k=3k = 3.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2;5)M(2; 5) và N(4;9)N(4; 9).

Giải:

Bước 1: Tính hệ số góc:

k=9−54−2=42=2k = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2

Bước 2: Phương trình có dạng y=2x+by = 2x + b

Thay M(2;5)M(2; 5): 5=2⋅2+b⇒b=15 = 2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 1

Vậy phương trình đường thẳng là y=2x+1y = 2x + 1.

💡 4. Ý nghĩa của hệ số góc

Ý nghĩa:

  1. Độ dốc: ∣k∣|k| càng lớn, đường thẳng càng dốc

  2. Chiều tăng/giảm:

    • k>0k > 0: Hàm số đồng biến (tăng)
    • k<0k < 0: Hàm số nghịch biến (giảm)

  3. Tốc độ thay đổi: Khi xx tăng 1 đơn vị, yy tăng kk đơn vị

Ví dụ 5: So sánh độ dốc:

a) y=5x+1y = 5x + 1: ∣k∣=5|k| = 5 → Dốc nhất

b) y=2x−3y = 2x - 3: ∣k∣=2|k| = 2 → Dốc vừa

c) y=0,5x+2y = 0{,}5x + 2: ∣k∣=0,5|k| = 0{,}5 → Dốc ít nhất

Kết luận: Đường thẳng (a) dốc nhất, (c) dốc ít nhất.

↔️ 5. Điều kiện song song và vuông góc

Cho hai đường thẳng d1:y=k1x+b1d_1: y = k_1x + b_1 và d2:y=k2x+b2d_2: y = k_2x + b_2:

  1. Song song: d1∥d2⇔k1=k2d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow k_1 = k_2 và b1≠b2b_1 \neq b_2

  2. Trùng nhau: d1≡d2⇔k1=k2d_1 \equiv d_2 \Leftrightarrow k_1 = k_2 và b1=b2b_1 = b_2

  3. Vuông góc: d1⊥d2⇔k1⋅k2=−1d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2 = -1

Ví dụ 6: Tìm mm để hai đường thẳng song song:

d1:y=3x+2d_1: y = 3x + 2 và d2:y=mx−1d_2: y = mx - 1

Giải:

Để d1∥d2d_1 \parallel d_2: k1=k2k_1 = k_2 và b1≠b2b_1 \neq b_2

3=m vaˋ 2≠−1✓3 = m \text{ và } 2 \neq -1 \checkmark

Vậy m=3m = 3.

Ví dụ 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2)A(1; 2) và vuông góc với y=2x+1y = 2x + 1.

Giải:

Đường thẳng y=2x+1y = 2x + 1 có k1=2k_1 = 2

Đường thẳng cần tìm vuông góc nên: k2⋅2=−1⇒k2=−12k_2 \cdot 2 = -1 \Rightarrow k_2 = -\dfrac{1}{2}

Phương trình: y=−12x+by = -\dfrac{1}{2}x + b

Thay A(1;2)A(1; 2): 2=−12⋅1+b⇒b=522 = -\dfrac{1}{2} \cdot 1 + b \Rightarrow b = \dfrac{5}{2}

Vậy y=−12x+52y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}.

✏️ Luyện tập
Câu 1 / 9
Dễ0 đã trả lời

Hệ số góc của đường thẳng y=3x−2y = 3x - 2 là:
🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Độ dốc đường:

Một con đường có độ dốc 15%. Điều này có nghĩa là cứ đi 100m theo phương ngang thì độ cao tăng 15m.

a) Viết công thức tính độ cao hh (m) theo khoảng cách ngang dd (m)

b) Tính độ cao khi đi 200m theo phương ngang

Giải:

a) Độ dốc 15% = 15100=0,15\dfrac{15}{100} = 0{,}15

Công thức: h=0,15dh = 0{,}15d

Hệ số góc k=0,15k = 0{,}15

b) Khi d=200d = 200 m:

h=0,15×200=30 mh = 0{,}15 \times 200 = 30 \text{ m}

📝 Bài toán 2 — Tăng trưởng doanh thu:

Doanh thu của một công ty tăng đều theo thời gian. Tháng 1 có doanh thu 50 triệu, tháng 4 có doanh thu 80 triệu.

a) Tính hệ số góc (tốc độ tăng trưởng)

b) Viết công thức tính doanh thu yy (triệu) theo tháng xx

c) Dự đoán doanh thu tháng 7

Giải:

a) Hệ số góc:

k=80−504−1=303=10 (triệu/thaˊng)k = \frac{80 - 50}{4 - 1} = \frac{30}{3} = 10 \text{ (triệu/tháng)}

b) Phương trình: y=10x+by = 10x + b

Thay tháng 1 (x=1x = 1, y=50y = 50):

50=10⋅1+b⇒b=4050 = 10 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 40

Công thức: y=10x+40y = 10x + 40

c) Tháng 7 (x=7x = 7):

y=10⋅7+40=110 triệuy = 10 \cdot 7 + 40 = 110 \text{ triệu}

⭐ Ghi nhớ
  • Hệ số góc: k=ak = a trong y=ax+by = ax + b
  • Góc nhọn: a>0a > 0, Góc tù: a<0a < 0
  • Qua 2 điểm: k=y2−y1x2−x1k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • Song song: k1=k2k_1 = k_2
  • Vuông góc: k1⋅k2=−1k_1 \cdot k_2 = -1

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Xác định hệ số góc của các đường thẳng sau:

a) y=5x−3y = 5x - 3

b) y=−2x+7y = -2x + 7

c) y=13x+1y = \dfrac{1}{3}x + 1

d) y=−x+4y = -x + 4

Bài 2 (Dễ): Cho các đường thẳng sau, đường thẳng nào tạo với trục OxOx góc nhọn, góc tù?

a) y=3x+2y = 3x + 2

b) y=−4x+1y = -4x + 1

c) y=0,5x−3y = 0{,}5x - 3

d) y=−23x+5y = -\dfrac{2}{3}x + 5

Bài 3 (Trung bình): Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm:

a) A(1;3)A(1; 3) và B(3;7)B(3; 7)

b) M(2;5)M(2; 5) và N(4;1)N(4; 1)

c) P(−1;2)P(-1; 2) và Q(2;8)Q(2; 8)

d) E(0;3)E(0; 3) và F(3;0)F(3; 0)

Bài 4 (Khá): Viết phương trình đường thẳng biết:

a) Đi qua điểm A(2;5)A(2; 5) và có hệ số góc k=3k = 3.

b) Đi qua điểm B(1;4)B(1; 4) và có hệ số góc k=−2k = -2.

c) Đi qua hai điểm M(1;2)M(1; 2) và N(3;6)N(3; 6).

d) Đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc k=−1k = -1.

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế):

a) Một con đường có độ dốc 12%. Viết công thức tính độ cao hh (m) theo khoảng cách ngang dd (m). Xác định hệ số góc.

b) Doanh thu của một công ty tăng từ 40 triệu (tháng 1) lên 70 triệu (tháng 7). Tính hệ số góc (tốc độ tăng trưởng). Viết công thức tính doanh thu theo tháng.

c) Viết phương trình đường thẳng song song với y=2x+3y = 2x + 3 và đi qua điểm A(1;5)A(1; 5).

d) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với y=3x−1y = 3x - 1 và đi qua điểm B(2;4)B(2; 4).

e) Tìm mm để hai đường thẳng y=(m+1)x+2y = (m+1)x + 2 và y=3x−5y = 3x - 5 song song với nhau.

📊 Đáp số

Bài 1: a) k=5k = 5; b) k=−2k = -2; c) k=13k = \dfrac{1}{3}; d) k=−1k = -1

Bài 2: a) Góc nhọn; b) Góc tù; c) Góc nhọn; d) Góc tù

Bài 3: a) k=2k = 2; b) k=−2k = -2; c) k=2k = 2; d) k=−1k = -1

Bài 4: a) y=3x−1y = 3x - 1; b) y=−2x+6y = -2x + 6; c) y=2xy = 2x; d) y=−xy = -x

Bài 5: a) h=0,12dh = 0{,}12d, k=0,12k = 0{,}12; b) k=5k = 5 triệu/tháng, y=5x+35y = 5x + 35; c) y=2x+3y = 2x + 3; d) y=−13x+143y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{14}{3}; e) m=2m = 2