Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài 33: Hai tam giác đồng dạng

🚀 Khởi động

🔍 Mở đầu — Hình đồng dạng trong thực tế

Hai hình đồng dạng xuất hiện khắp nơi xung quanh ta:

📸
Ảnh phóng to/thu nhỏ

Ảnh gốc và ảnh phóng to có hình dạng giống nhau

🗺️
Bản đồ

Bản đồ là hình thu nhỏ của địa hình thực tế

🏗️
Mô hình kiến trúc

Mô hình nhà là phiên bản thu nhỏ của ngôi nhà thật

📐
Thiết kế kỹ thuật

Bản vẽ kỹ thuật theo tỉ lệ

💬 Hai tam giác đồng dạng có hình dạng giống nhau nhưng kích thước có thể khác nhau!

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa tam giác đồng dạng

Định nghĩa: Hai tam giác ABCABC và A′B′C′A'B'C' được gọi là đồng dạng (ký hiệu: △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C') nếu:

  1. Các góc tương ứng bằng nhau: A^=A′^,B^=B′^,C^=C′^\widehat{A} = \widehat{A'}, \quad \widehat{B} = \widehat{B'}, \quad \widehat{C} = \widehat{C'}

  2. Các cạnh tương ứng tỉ lệ: ABA′B′=BCB′C′=CAC′A′=k\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k

Số kk gọi là tỉ số đồng dạng (hay hệ số đồng dạng).

Lưu ý quan trọng:

  • Thứ tự các đỉnh trong ký hiệu đồng dạng phải tương ứng
  • △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' nghĩa là: A↔A′A \leftrightarrow A', B↔B′B \leftrightarrow B', C↔C′C \leftrightarrow C'

Ví dụ 1: Cho △ABC\triangle ABC có AB=6AB = 6 cm, BC=8BC = 8 cm, CA=10CA = 10 cm và △DEF\triangle DEF có DE=3DE = 3 cm, EF=4EF = 4 cm, FD=5FD = 5 cm. Các góc tương ứng bằng nhau.

Giải:

Kiểm tra tỉ lệ các cạnh:

ABDE=63=2\frac{AB}{DE} = \frac{6}{3} = 2 BCEF=84=2\frac{BC}{EF} = \frac{8}{4} = 2 CAFD=105=2\frac{CA}{FD} = \frac{10}{5} = 2

Vì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tỉ lệ với k=2k = 2:

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

📊 2. Tính chất của tam giác đồng dạng

Tính chất:

  1. Phản xạ: △ABC∼△ABC\triangle ABC \sim \triangle ABC (với k=1k = 1)

  2. Đối xứng: Nếu △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' thì △A′B′C′∼△ABC\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC

  3. Bắc cầu: Nếu △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' và △A′B′C′∼△A′′B′′C′′\triangle A'B'C' \sim \triangle A''B''C'' thì △ABC∼△A′′B′′C′′\triangle ABC \sim \triangle A''B''C''

  4. Tỉ số chu vi: Nếu △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' với tỉ số kk thì: PABCPA′B′C′=k\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = k

  5. Tỉ số diện tích: Nếu △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' với tỉ số kk thì: SABCSA′B′C′=k2\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = k^2

Ví dụ 2: Cho △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF với AB=9AB = 9 cm, DE=6DE = 6 cm.

a) Tính tỉ số đồng dạng

b) Nếu chu vi △ABC\triangle ABC là 27 cm, tính chu vi △DEF\triangle DEF

c) Nếu diện tích △ABC\triangle ABC là 36 cm², tính diện tích △DEF\triangle DEF

Giải:

a) Tỉ số đồng dạng:

k=ABDE=96=32k = \frac{AB}{DE} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}

b) Tỉ số chu vi:

PABCPDEF=k=32\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}} = k = \frac{3}{2}

PDEF=2×PABC3=2×273=18 cmP_{DEF} = \frac{2 \times P_{ABC}}{3} = \frac{2 \times 27}{3} = 18 \text{ cm}

c) Tỉ số diện tích:

SABCSDEF=k2=(32)2=94\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}

SDEF=4×SABC9=4×369=16 cm2S_{DEF} = \frac{4 \times S_{ABC}}{9} = \frac{4 \times 36}{9} = 16 \text{ cm}^2

⭐ 3. Trường hợp đặc biệt

Hai tam giác bằng nhau:

Hai tam giác bằng nhau là trường hợp đặc biệt của tam giác đồng dạng với tỉ số k=1k = 1.

△ABC=△DEF⇒△ABC∼△DEF (với k=1)\triangle ABC = \triangle DEF \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF \text{ (với } k = 1\text{)}

Ví dụ 3: Cho △ABC\triangle ABC có AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm, CA=8CA = 8 cm và △MNP\triangle MNP có MN=5MN = 5 cm, NP=7NP = 7 cm, PM=8PM = 8 cm.

Giải:

Các cạnh tương ứng bằng nhau:

ABMN=55=1\frac{AB}{MN} = \frac{5}{5} = 1 BCNP=77=1\frac{BC}{NP} = \frac{7}{7} = 1 CAPM=88=1\frac{CA}{PM} = \frac{8}{8} = 1

Vậy △ABC=△MNP\triangle ABC = \triangle MNP (theo trường hợp c.c.c)

Đồng thời: △ABC∼△MNP\triangle ABC \sim \triangle MNP với k=1k = 1

🔬 4. Công cụ tương tác

Khám phá tam giác đồng dạng với công cụ tương tác:

💡 Kéo đỉnh A, B, C để khám phá tính chất tam giác

Độ dài cạnh

AB = 0BC = 0CA = 0

Góc (°)

∠A = 0°∠B = 0°∠C = 0°
∠A + ∠B + ∠C = 0°

Tổng ba góc trong tam giác luôn bằng 180°

✏️ 5. Ví dụ tổng hợp

Ví dụ 4: Cho △ABC∼△MNP\triangle ABC \sim \triangle MNP với A^=50°\widehat{A} = 50°, B^=60°\widehat{B} = 60°, AB=12AB = 12 cm, MN=8MN = 8 cm, NP=10NP = 10 cm.

a) Tính C^\widehat{C} và M^\widehat{M}, N^\widehat{N}, P^\widehat{P}

b) Tính BCBC và CACA

Giải:

a) Trong △ABC\triangle ABC:

C^=180°−A^−B^=180°−50°−60°=70°\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B} = 180° - 50° - 60° = 70°

Vì △ABC∼△MNP\triangle ABC \sim \triangle MNP:

M^=A^=50°\widehat{M} = \widehat{A} = 50° N^=B^=60°\widehat{N} = \widehat{B} = 60° P^=C^=70°\widehat{P} = \widehat{C} = 70°

b) Tỉ số đồng dạng:

k=ABMN=128=32k = \frac{AB}{MN} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

Tính BCBC:

BCNP=k⇒BC=k×NP=32×10=15 cm\frac{BC}{NP} = k \Rightarrow BC = k \times NP = \frac{3}{2} \times 10 = 15 \text{ cm}

Để tính CACA, cần biết MPMP (không đủ dữ liệu trong đề).

✏️ Luyện tập
Câu 1 / 9
Dễ0 đã trả lời

Hai tam giác đồng dạng có:
🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Bản đồ:

Trên bản đồ tỉ lệ 1:50000, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 6 cm. Tính khoảng cách thực tế.

Giải:

Tỉ lệ 1:50000 nghĩa là k=150000k = \dfrac{1}{50000}

Khoảng cách thực tế:

d=6k=6×50000=300000 cm=3 kmd = \frac{6}{k} = 6 \times 50000 = 300000 \text{ cm} = 3 \text{ km}

📝 Bài toán 2 — Mô hình kiến trúc:

Một mô hình nhà có chiều cao 30 cm, tương ứng với chiều cao thực tế 6 m. Nếu chiều dài mô hình là 40 cm, tính chiều dài thực tế.

Giải:

Tỉ số đồng dạng:

k=30 cm600 cm=120k = \frac{30 \text{ cm}}{600 \text{ cm}} = \frac{1}{20}

Chiều dài thực tế:

L=40k=40×20=800 cm=8 mL = \frac{40}{k} = 40 \times 20 = 800 \text{ cm} = 8 \text{ m}

📝 Bài toán 3 — Đo chiều cao:

Một cây cao tạo bóng dài 12 m. Cùng lúc đó, một cột cao 2 m tạo bóng dài 3 m. Tính chiều cao của cây.

Giải:

Hai tam giác tạo bởi cây, bóng và tia sáng mặt trời đồng dạng:

hca^yhcột=lca^ylcột\frac{h_{cây}}{h_{cột}} = \frac{l_{cây}}{l_{cột}}

hca^y2=123\frac{h_{cây}}{2} = \frac{12}{3}

hca^y=2×4=8 mh_{cây} = 2 \times 4 = 8 \text{ m}

⭐ Ghi nhớ
  • Định nghĩa: △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' khi góc bằng nhau và cạnh tỉ lệ
  • Tỉ số đồng dạng: k=ABA′B′=BCB′C′=CAC′A′k = \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CA}{C'A'}
  • Tỉ số chu vi: PP′=k\dfrac{P}{P'} = k
  • Tỉ số diện tích: SS′=k2\dfrac{S}{S'} = k^2
  • Tam giác bằng nhau: Trường hợp đặc biệt với k=1k = 1

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho △ABC\triangle ABC có AB=9AB = 9 cm, BC=12BC = 12 cm, CA=15CA = 15 cm và △DEF\triangle DEF có DE=6DE = 6 cm, EF=8EF = 8 cm, FD=10FD = 10 cm. Các góc tương ứng bằng nhau.

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Nếu chu vi △ABC\triangle ABC là 36 cm, tính chu vi △DEF\triangle DEF

Bài 2: Cho △MNP∼△M′N′P′\triangle MNP \sim \triangle M'N'P' với tỉ số đồng dạng k=53k = \dfrac{5}{3}.

a) Biết MN=10MN = 10 cm, tính M′N′M'N'

b) Biết chu vi △MNP\triangle MNP là 30 cm, tính chu vi △M′N′P′\triangle M'N'P'

c) Biết diện tích △MNP\triangle MNP là 50 cm², tính diện tích △M′N′P′\triangle M'N'P'

d) Nếu M^=45°\widehat{M} = 45°, tính M′^\widehat{M'}

Bài 3: Cho △ABC\triangle ABC có A^=60°\widehat{A} = 60°, B^=50°\widehat{B} = 50°, AB=8AB = 8 cm và △XYZ\triangle XYZ có X^=60°\widehat{X} = 60°, Y^=50°\widehat{Y} = 50°, XY=12XY = 12 cm.

a) Chứng minh △ABC∼△XYZ\triangle ABC \sim \triangle XYZ

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Biết BC=6BC = 6 cm, tính YZYZ

d) Nếu diện tích △ABC\triangle ABC là 24 cm², tính diện tích △XYZ\triangle XYZ

Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Một kiến trúc sư thiết kế mô hình nhà theo tỉ lệ 1:50.

a) Nếu chiều cao thực tế của ngôi nhà là 10 m, tính chiều cao mô hình (đơn vị: cm)

b) Nếu chiều dài mô hình là 30 cm, tính chiều dài thực tế (đơn vị: m)

c) Diện tích mặt bằng mô hình là 360 cm². Tính diện tích mặt bằng thực tế (đơn vị: m²)

d) Nếu thể tích mô hình là 2160 cm³, tính thể tích thực tế (đơn vị: m³)

Bài 5 (Nâng cao): Cho △ABC\triangle ABC có AB=6AB = 6 cm, AC=8AC = 8 cm, BC=10BC = 10 cm. Trên cạnh ABAB lấy điểm MM sao cho AM=3AM = 3 cm, trên cạnh ACAC lấy điểm NN sao cho AN=4AN = 4 cm.

a) Chứng minh △AMN∼△ABC\triangle AMN \sim \triangle ABC

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Tính độ dài MNMN

d) Tính tỉ số diện tích SAMNSABC\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}

e) Chứng minh MN∥BCMN \parallel BC

📊 Đáp số

Bài 1:

a) ABDE=96=32\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}; BCEF=128=32\dfrac{BC}{EF} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}; CAFD=1510=32\dfrac{CA}{FD} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}

Ba cạnh tỉ lệ và các góc tương ứng bằng nhau ⇒△ABC∼△DEF\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

b) k=32k = \dfrac{3}{2}

c) PDEF=2×363=24P_{DEF} = \dfrac{2 \times 36}{3} = 24 cm

Bài 2:

a) M′N′=3×105=6M'N' = \dfrac{3 \times 10}{5} = 6 cm

b) PM′N′P′=3×305=18P_{M'N'P'} = \dfrac{3 \times 30}{5} = 18 cm

c) SM′N′P′=9×5025=18S_{M'N'P'} = \dfrac{9 \times 50}{25} = 18 cm²

d) M′^=45°\widehat{M'} = 45° (góc tương ứng bằng nhau)

Bài 3:

a) Có A^=X^=60°\widehat{A} = \widehat{X} = 60° và B^=Y^=50°\widehat{B} = \widehat{Y} = 50° nên △ABC∼△XYZ\triangle ABC \sim \triangle XYZ (g.g)

b) k=XYAB=128=32k = \dfrac{XY}{AB} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}

c) YZ=3×62=9YZ = \dfrac{3 \times 6}{2} = 9 cm

d) SXYZ=(32)2×24=94×24=54S_{XYZ} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \times 24 = \dfrac{9}{4} \times 24 = 54 cm²

Bài 4:

a) Chiều cao mô hình: 100050=20\dfrac{1000}{50} = 20 cm

b) Chiều dài thực tế: 30×50=150030 \times 50 = 1500 cm = 15 m

c) Diện tích thực tế: 360×502=360×2500=900000360 \times 50^2 = 360 \times 2500 = 900000 cm² = 90 m²

d) Thể tích thực tế: 2160×503=2160×125000=2700000002160 \times 50^3 = 2160 \times 125000 = 270000000 cm³ = 270 m³

Bài 5:

a) AMAB=36=12\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}; ANAC=48=12\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}

Có AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} và A^\widehat{A} chung nên △AMN∼△ABC\triangle AMN \sim \triangle ABC (c.g.c)

b) k=12k = \dfrac{1}{2}

c) MN=BC2=102=5MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 cm

d) SAMNSABC=k2=(12)2=14\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}

e) Vì △AMN∼△ABC\triangle AMN \sim \triangle ABC nên AMN^=ABC^\widehat{AMN} = \widehat{ABC} (hai góc ở vị trí đồng vị) ⇒MN∥BC\Rightarrow MN \parallel BC