Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

🚀 Khởi động

🔍 Mở đầu — Tại sao cần phương trình?

Phương trình giúp ta giải quyết nhiều bài toán thực tế:

🎂

Bài toán tuổi

Tuổi con hiện nay là $x$ . Sau 5 năm, tuổi con là $x + 5$ . Nếu biết sau 5 năm tuổi con bằng 15: $x + 5 = 15$

💰

Bài toán tiền

Mua $x$ quyển vở, mỗi quyển 5000đ, tổng 50000đ: $5000x = 50000$

💬 Phương trình bậc nhất một ẩn là công cụ cơ bản nhất để giải các bài toán đại số!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng:

$ax + b = 0$

trong đó $a$ và $b$ là các số đã cho, $a \neq 0$ , và $x$ là ẩn số.

Ví dụ các phương trình bậc nhất một ẩn:

Phương trình	Hệ số $a$	Hệ số $b$	Ghi chú
$2x + 3 = 0$	$a = 2$	$b = 3$	✓ Phương trình bậc nhất
$-x + 5 = 0$	$a = -1$	$b = 5$	✓ Phương trình bậc nhất
$\dfrac{1}{2}x - 1 = 0$	$a = \dfrac{1}{2}$	$b = -1$	✓ Phương trình bậc nhất
$0x + 3 = 0$	$a = 0$	$b = 3$	✗ Không phải (vì $a = 0$ )
$x^2 - 1 = 0$	—	—	✗ Phương trình bậc hai

Lưu ý quan trọng:

Điều kiện $a \neq 0$ là bắt buộc để phương trình là bậc nhất.
Nếu $a = 0$ , phương trình trở thành $b = 0$ (không còn ẩn).

✅ 2. Nghiệm của phương trình

Định nghĩa: Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn số làm cho phương trình trở thành đẳng thức đúng.

Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Ví dụ 1: Kiểm tra $x = 2$ có phải nghiệm của $3x - 6 = 0$ không?

Giải:

Thay $x = 2$ vào phương trình:

$3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0 \checkmark$

Vậy $x = 2$ là nghiệm của phương trình.

🔧 3. Cách giải phương trình bậc nhất

Quy tắc giải phương trình $ax + b = 0$ (với $a \neq 0$ ):

Bước 1: Chuyển vế $b$ sang vế phải: $ax = -b$

Bước 2: Chia cả hai vế cho $a$ : $x = -\dfrac{b}{a}$

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = -\dfrac{b}{a}$

Ví dụ 2: Giải phương trình $5x - 15 = 0$ .

Giải:

$5x - 15 = 0$ $5x = 15$ $x = \frac{15}{5} = 3$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$ .

Ví dụ 3: Giải phương trình $-2x + 8 = 0$ .

Giải:

$-2x + 8 = 0$ $-2x = -8$ $x = \frac{-8}{-2} = 4$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 4$ .

⚖️ 4. Quy tắc biến đổi phương trình

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình, ta phải đổi dấu hạng tử đó.

$a = b \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b + 0$

Quy tắc nhân (chia): Nhân hoặc chia cả hai vế của phương trình với cùng một số khác 0, ta được phương trình tương đương.

$a = b \Leftrightarrow ac = bc \quad (c \neq 0)$

Ví dụ 4: Giải phương trình $3x + 5 = 2x - 1$ .

Giải:

$3x + 5 = 2x - 1$

Chuyển vế $2x$ sang trái, $5$ sang phải:

$3x - 2x = -1 - 5$ $x = -6$

Vậy phương trình có nghiệm $x = -6$ .

Ví dụ 5: Giải phương trình $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{x+3}{4}$ .

Giải:

Nhân cả hai vế với 4 (MTC):

$4 \cdot \frac{x-1}{2} = 4 \cdot \frac{x+3}{4}$ $2(x-1) = x+3$ $2x - 2 = x + 3$ $2x - x = 3 + 2$ $x = 5$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$ .

⚠️ 5. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: Phương trình vô nghiệm

Phương trình $0x + b = 0$ với $b \neq 0$ vô nghiệm.

Ví dụ: $0x + 5 = 0 \Rightarrow 0 = -5$ (vô lý)

Trường hợp 2: Phương trình vô số nghiệm

Phương trình $0x + 0 = 0$ có vô số nghiệm (mọi $x \in \mathbb{R}$ ).

Ví dụ: $0x + 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0$ (luôn đúng)

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Phương trình nào sau đây **là** phương trình bậc nhất một ẩn?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Bài toán tuổi:

Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Biết tuổi mẹ hơn tuổi con 24 tuổi. Tính tuổi mỗi người.

Giải:

Gọi tuổi con hiện nay là $x$ (tuổi), $x > 0$ .

Tuổi mẹ hiện nay: $3x$ (tuổi)

Theo đề bài: $3x - x = 24$

$2x = 24$ $x = 12$

Vậy: Tuổi con là 12 tuổi, tuổi mẹ là $3 \times 12 = 36$ tuổi.

📝 Bài toán 2 — Bài toán chuyển động:

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến sớm hơn 30 phút. Tính quãng đường AB.

Giải:

Gọi quãng đường AB là $x$ (km), $x > 0$ .

Thời gian đi với vận tốc 60 km/h: $\dfrac{x}{60}$ (giờ)

Thời gian đi với vận tốc 70 km/h: $\dfrac{x}{70}$ (giờ)

Theo đề bài (30 phút = 0,5 giờ):

$\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = 0{,}5$

Quy đồng mẫu 420:

$\frac{7x}{420} - \frac{6x}{420} = 0{,}5$ $\frac{x}{420} = 0{,}5$ $x = 210$

Vậy: Quãng đường AB dài 210 km.

⭐ Ghi nhớ

Phương trình bậc nhất một ẩn: $ax + b = 0$ (với $a \neq 0$ )
Nghiệm duy nhất: $x = -\dfrac{b}{a}$
Quy tắc chuyển vế: Chuyển vế phải đổi dấu
Quy tắc nhân: Nhân/chia cả hai vế với số $\neq 0$
Kiểm tra nghiệm: Thay giá trị vào phương trình

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Giải các phương trình sau:

a) $3x - 9 = 0$

b) $-5x + 15 = 0$

c) $2x + 8 = 0$

d) $\dfrac{1}{2}x - 3 = 0$

Bài 2 (Dễ): Giải các phương trình sau:

a) $2x + 5 = x + 8$

b) $3x - 7 = 2x + 1$

c) $5x + 3 = 2x - 6$

d) $4x - 1 = 3x + 5$

Bài 3 (Trung bình): Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{x-2}{3} = \dfrac{x+1}{4}$

b) $\dfrac{2x+1}{5} = \dfrac{x-3}{2}$

c) $\dfrac{x+3}{2} - \dfrac{x-1}{3} = 1$

d) $\dfrac{2x-1}{4} + \dfrac{x+2}{3} = 2$

Bài 4 (Khá): Giải các phương trình và biện luận:

a) $mx + 3 = 0$ (tìm $x$ theo $m$ )

b) $(m-1)x + 2 = 0$ (biện luận theo $m$ )

c) $2x + m = 3x - 1$ (tìm $x$ theo $m$ )

d) $(m+2)x - 5 = 0$ (với điều kiện nào của $m$ thì phương trình có nghiệm?)

Bài 5 (Khó - Ứng dụng thực tế):

a) Một người có 50000đ gồm các tờ 2000đ và 5000đ. Biết có tổng cộng 16 tờ. Hỏi có bao nhiêu tờ mỗi loại?

b) Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Sau 12 năm nữa, tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người hiện nay.

c) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB.

d) Một bể nước có hai vòi. Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể trong 6 giờ. Hỏi nếu mở cả hai vòi thì sau bao lâu đầy bể?

e) Một cửa hàng giảm giá 15% cho tất cả sản phẩm. Sau khi giảm, một chiếc áo có giá 170000đ. Tính giá ban đầu của chiếc áo.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $x = 3$ ; b) $x = 3$ ; c) $x = -4$ ; d) $x = 6$

Bài 2: a) $x = 3$ ; b) $x = 8$ ; c) $x = -3$ ; d) $x = 6$

Bài 3: a) $x = 14$ ; b) $x = -13$ ; c) $x = 1$ ; d) $x = 2$

Bài 4: a) $x = -\dfrac{3}{m}$ (với $m \neq 0$ ); b) Nếu $m \neq 1$ : $x = -\dfrac{2}{m-1}$ , nếu $m = 1$ : vô nghiệm; c) $x = m + 1$ ; d) $m \neq -2$

Bài 5: a) 8 tờ 2000đ, 8 tờ 5000đ; b) Con 12 tuổi, mẹ 36 tuổi; c) 300 km; d) 2 giờ; e) 200000đ