🚀 Khởi động

🏗️ Đa thức — Xây dựng từ đơn thức

Nếu đơn thức là viên gạch, thì đa thức là bức tường được xây từ nhiều viên gạch đó!

📈

Quỹ đạo vật thể

$h = -5t^2 + 20t + 10$

💰

Lãi suất kép

$A = P(1 + r)^n$

🌡️

Nhiệt độ theo thời gian

$T = at^2 + bt + c$

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm đa thức

Định nghĩa: Đa thức là tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức.

Ví dụ các đa thức:

Đa thức	Số hạng tử	Phân tích
$x^2 + 3x - 5$	3	Ba hạng tử: $x^2$, $3x$, $-5$
$2x^3 - x + 1$	3	Ba hạng tử: $2x^3$, $-x$, $1$
$5xy - 2x^2y + 3$	3	Ba hạng tử: $5xy$, $-2x^2y$, $3$
$x^4$	1	Một hạng tử (đơn thức cũng là đa thức)

Lưu ý:

• Mỗi đơn thức đều là đa thức (có 1 hạng tử)
• Số 0 cũng được coi là đa thức (đa thức không)

📊 2. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đó (sau khi đã thu gọn).

Quy ước: Đa thức 0 không có bậc.

Ví dụ tính bậc:

Đa thức	Bậc các hạng tử	Bậc đa thức
$3x^4 - 2x^2 + 5$	$4, 2, 0$	$4$
$x^3y + 2xy^2 - 1$	$4, 3, 0$	$4$
$5x^2 - 3x^2 + x$	$2, 2, 1$ → thu gọn: $2x^2 + x$	$2$
$7$	$0$	$0$

🔢 3. Hệ số cao nhất và hệ số tự do

Hệ số cao nhất: Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất

Hệ số tự do: Số hạng không chứa biến (hạng tử bậc 0)

Ví dụ:

Cho đa thức $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$

• Bậc: $4$
• Hệ số cao nhất: $3$
• Hệ số tự do: $-7$

📋 4. Sắp xếp đa thức

Sắp xếp đa thức theo lũy thừa của biến có thể:

• Giảm dần: Từ bậc cao đến bậc thấp
• Tăng dần: Từ bậc thấp đến bậc cao

Ví dụ 1: Sắp xếp $P(x) = 5 - 3x + 2x^3 - x^2$

Giảm dần: $P(x) = 2x^3 - x^2 - 3x + 5$

Tăng dần: $P(x) = 5 - 3x - x^2 + 2x^3$

Ví dụ 2: Sắp xếp $Q(x) = x^2 - 5 + 3x^4 - 2x$

Giảm dần: $Q(x) = 3x^4 + x^2 - 2x - 5$

🎯 5. Giá trị của đa thức

Giá trị của đa thức tại một giá trị cụ thể của biến được tính bằng cách thay giá trị đó vào biến.

Kí hiệu: $P(a)$ là giá trị của đa thức $P(x)$ tại $x = a$

Ví dụ 3: Cho $P(x) = x^2 - 3x + 2$. Tính $P(0)$, $P(1)$, $P(2)$.

$P(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$

$P(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

$P(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

Nhận xét: $P(1) = P(2) = 0$, ta nói 1 và 2 là nghiệm của đa thức $P(x)$.

🎲 6. Nghiệm của đa thức

Nghiệm của đa thức $P(x)$ là giá trị của $x$ làm cho $P(x) = 0$.

Ví dụ 4: Tìm nghiệm của $P(x) = 2x - 6$

Cho $P(x) = 0$:

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Vậy $x = 3$ là nghiệm của $P(x)$.

✂️ 7. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức: Cộng các hạng tử đồng dạng lại với nhau.

Ví dụ 5: Thu gọn $P(x) = 3x^2 + 5x - 2x^2 + 3 - 2x$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$P(x) = (3x^2 - 2x^2) + (5x - 2x) + 3$

$P(x) = x^2 + 3x + 3$

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Biểu thức nào sau đây là đa thức?

A$x^2 + 3x - 5$B$\dfrac{1}{x} + 2$C$\sqrt{x} + 1$D$x^{-2} + x$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một vật được ném lên cao với vận tốc ban đầu. Độ cao $h$ (m) sau $t$ giây được tính bởi công thức:

$h(t) = -5t^2 + 20t + 10$

Tính độ cao sau 1 giây, 2 giây và 3 giây.

Giải:

$h(1) = -5 \cdot 1^2 + 20 \cdot 1 + 10 = -5 + 20 + 10 = 25$ m

$h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 10 = -20 + 40 + 10 = 30$ m

$h(3) = -5 \cdot 3^2 + 20 \cdot 3 + 10 = -45 + 60 + 10 = 25$ m

📝 Bài toán 2: Một công ty sản xuất có chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được tính bởi:

$C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 500$ (nghìn đồng)

Tính chi phí khi sản xuất 20 sản phẩm và 50 sản phẩm.

Giải:

$C(20) = 0{,}5 \cdot 20^2 + 10 \cdot 20 + 500 = 200 + 200 + 500 = 900$ nghìn đồng

$C(50) = 0{,}5 \cdot 50^2 + 10 \cdot 50 + 500 = 1250 + 500 + 500 = 2250$ nghìn đồng

⭐ Ghi nhớ

• Đa thức: tổng các đơn thức
• Bậc: bậc của hạng tử cao nhất
• Hệ số cao nhất: hệ số của hạng tử bậc cao nhất
• Hệ số tự do: số hạng không chứa biến
• Sắp xếp: theo lũy thừa tăng/giảm
• Nghiệm: giá trị làm $P(x) = 0$
• Thu gọn: cộng các hạng tử đồng dạng

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đa thức $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$

a) Xác định bậc của đa thức.

b) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do.

c) Tính $P(0)$, $P(1)$, $P(-1)$.

d) Đa thức $P(x)$ có bao nhiêu hạng tử? Kể tên các hạng tử đó.

Bài 2: Thu gọn các đa thức sau:

a) $Q(x) = 5x^2 - 3x + 2x^2 + 7x - 1$

b) $R(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - x^3 + 5x^2 - 2$

c) $S(x) = 4x^2y - 3xy^2 + 2x^2y - xy^2 + 5$

d) $T(x) = -x^4 + 3x^2 - 2 + x^4 - x^2 + 7$

Bài 3: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến:

a) $A(x) = 5 - 3x + 2x^3 - x^2$

b) $B(x) = x^2 - 5x^4 + 3x - 7 + 2x^3$

c) $C(y) = 3y - y^3 + 2y^2 - 4 + y^4$

d) $D(t) = -t + 5t^3 - 2t^2 + 8 - 3t^4$

Bài 4: Cho đa thức $M(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2$

a) Tính $M(0)$, $M(2)$, $M(-1)$.

b) Chứng tỏ $x = 2$ là nghiệm của đa thức $M(x)$.

c) Tìm $a$ để $M(a) = 2$.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của $M(x)$ khi $x = 1$.

Bài 5: Cho hai đa thức:

$P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$

$Q(x) = -x^3 + 2x^2 - 3x + 4$

a) Tính bậc của mỗi đa thức.

b) Tính $P(1)$ và $Q(1)$.

c) So sánh $P(2)$ và $Q(2)$.

d) Tìm $x$ để $P(x) = Q(x)$.

Bài 6 (Thực tế): Một vật được ném lên cao với độ cao (tính bằng mét) sau $t$ giây được cho bởi công thức:

$h(t) = -5t^2 + 20t + 10$

a) Tính độ cao ban đầu của vật (khi $t = 0$).

b) Tính độ cao của vật sau 1 giây, 2 giây, 3 giây.

c) Tại thời điểm nào vật đạt độ cao 30 m?

d) Sau bao lâu vật chạm đất (tức $h(t) = 0$)?

📊 Đáp số

Bài 1: a) Bậc 4; b) Hệ số cao nhất: $3$, hệ số tự do: $-7$; c) $P(0) = -7$, $P(1) = -1$, $P(-1) = -9$; d) 4 hạng tử: $3x^4$, $-2x^2$, $5x$, $-7$

Bài 2: a) $7x^2 + 4x - 1$; b) $3x^2 + 3x - 2$; c) $6x^2y - 4xy^2 + 5$; d) $2x^2 + 5$

Bài 3: a) $2x^3 - x^2 - 3x + 5$; b) $-5x^4 + 2x^3 + x^2 + 3x - 7$; c) $y^4 - y^3 + 2y^2 + 3y - 4$; d) $-3t^4 + 5t^3 - 2t^2 - t + 8$

Bài 4: a) $M(0) = 2$, $M(2) = 0$, $M(-1) = -6$; b) $M(2) = 0$ nên $x = 2$ là nghiệm; c) $a = 0$; d) $M(1) = 2$

Bài 5: a) Cả hai đều bậc 3; b) $P(1) = 3$, $Q(1) = 2$; c) $P(2) = 13$, $Q(2) = -2$, vậy $P(2) > Q(2)$; d) $x = \dfrac{5}{3}$

Bài 6: a) $h(0) = 10$ m; b) $h(1) = 25$ m, $h(2) = 30$ m, $h(3) = 25$ m; c) $t = 2$ giây; d) Khoảng $4{,}45$ giây