🚀 Khởi động

▱ Hình bình hành — Đối xứng hoàn hảo

Hình bình hành có tính đối xứng qua tâm, xuất hiện nhiều trong đời sống!

🏗️

Kết cấu

Khung sắt hình bình hành

🎨

Nghệ thuật

Họa tiết trang trí

🔧

Cơ khí

Cơ cấu bản lề

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa hình bình hành

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Hình minh họa:

Trong hình bình hành $ABCD$:

• $AB \parallel DC$ và $AD \parallel BC$
• Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$

🔑 2. Tính chất hình bình hành

Định lý: Trong hình bình hành:

1. Các cạnh đối bằng nhau
2. Các góc đối bằng nhau
3. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Chứng minh tính chất 1 và 2:

Xét hình bình hành $ABCD$ có $AB \parallel DC$, $AD \parallel BC$.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CDA$:

• $AC$ chung
• $\hat{BAC} = \hat{DCA}$ (so le trong, $AB \parallel DC$)
• $\hat{BCA} = \hat{DAC}$ (so le trong, $AD \parallel BC$)

$\Rightarrow \triangle ABC = \triangle CDA$ (g.c.g)

$\Rightarrow AB = DC$, $BC = DA$ và $\hat{B} = \hat{D}$

Tương tự: $\hat{A} = \hat{C}$

Chứng minh tính chất 3:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Xét $\triangle AOB$ và $\triangle COD$:

• $AB = CD$ (cạnh đối)
• $\hat{ABO} = \hat{CDO}$ (so le trong)
• $\hat{BAO} = \hat{DCO}$ (so le trong)

$\Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD$ (g.c.g)

$\Rightarrow OA = OC$ và $OB = OD$

Hệ quả:

1. $AB = DC$ và $AD = BC$ (cạnh đối bằng nhau)
2. $\hat{A} = \hat{C}$ và $\hat{B} = \hat{D}$ (góc đối bằng nhau)
3. $\hat{A} + \hat{B} = 180°$ (hai góc kề một cạnh bù nhau)
4. $OA = OC = \frac{AC}{2}$ và $OB = OD = \frac{BD}{2}$

Ví dụ 1: Hình bình hành $ABCD$ có $AB = 8$ cm, $BC = 5$ cm, $\hat{A} = 60°$. Tính chu vi và các góc còn lại.

Giải:

Chu vi: $P = 2(AB + BC) = 2(8 + 5) = 26$ cm

Các góc:

• $\hat{C} = \hat{A} = 60°$ (góc đối)
• $\hat{B} = 180° - \hat{A} = 120°$ (góc kề bù nhau)
• $\hat{D} = \hat{B} = 120°$ (góc đối)

✓ 3. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:

1. Tứ giác có các cạnh đối song song
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
3. Tứ giác có các góc đối bằng nhau
4. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
5. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Ví dụ 2: Tứ giác $ABCD$ có $AB = DC = 6$ cm, $AB \parallel DC$. Chứng minh $ABCD$ là hình bình hành.

Giải:

Tứ giác $ABCD$ có:

• $AB \parallel DC$ (giả thiết)
• $AB = DC$ (giả thiết)

$\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành (dấu hiệu 5)

📐 4. Công thức

Chu vi: $P = 2(a + b)$

(với $a$, $b$ là độ dài hai cạnh kề)

Diện tích: $S = a \cdot h = a \cdot b \cdot \sin\alpha$

(với $h$ là chiều cao, $\alpha$ là góc giữa hai cạnh kề)

Ví dụ 3: Hình bình hành có cạnh $a = 10$ cm, chiều cao tương ứng $h = 6$ cm. Tính diện tích.

$S = a \cdot h = 10 \times 6 = 60$ cm²

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Hình bình hành là tứ giác có:

AHai cạnh đối song songBBốn cạnh bằng nhauCBốn góc vuôngDHai đường chéo bằng nhau

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Một mảnh vườn hình bình hành có cạnh $15$ m và $20$ m, chiều cao tương ứng với cạnh $20$ m là $12$ m.

a) Tính chu vi mảnh vườn.

b) Tính diện tích mảnh vườn.

c) Nếu trồng cỏ với giá $100.000$ đồng/m², tính chi phí.

Giải:

a) Chu vi: $P = 2(15 + 20) = 70$ m

b) Diện tích: $S = 20 \times 12 = 240$ m²

c) Chi phí: $240 \times 100.000 = 24.000.000$ đồng

⭐ Ghi nhớ

• Định nghĩa: các cạnh đối song song
• Tính chất: cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, đường chéo cắt nhau tại trung điểm
• Dấu hiệu: 5 cách nhận biết
• Chu vi: $P = 2(a + b)$
• Diện tích: $S = a \cdot h$

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = 10$ cm, $BC = 6$ cm, $\hat{A} = 70°$.

a) Tính chu vi hình bình hành.

b) Tính các góc $\hat{B}$, $\hat{C}$, $\hat{D}$.

c) So sánh $AB$ và $DC$, $AD$ và $BC$.

d) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. So sánh $OA$ và $OC$, $OB$ và $OD$.

Bài 2: Cho tứ giác $ABCD$ có $AB \parallel DC$, $AB = DC = 8$ cm.

a) Chứng minh $ABCD$ là hình bình hành.

b) Biết $AD = 5$ cm, tính chu vi.

c) Biết $\hat{A} = 65°$, tính các góc còn lại.

d) Nếu chiều cao $h = 4$ cm, tính diện tích.

Bài 3: Hình bình hành có:

a) Hai cạnh kề $7$ cm và $12$ cm. Tính chu vi.

b) Cạnh $a = 15$ cm, chiều cao $h = 8$ cm. Tính diện tích.

c) Chu vi $48$ cm, một cạnh $10$ cm. Tính cạnh kề.

d) Diện tích $120$ cm², cạnh $15$ cm. Tính chiều cao tương ứng.

Bài 4: Chứng minh:

a) Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Bài 5: Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm hai đường chéo.

a) Chứng minh $OA = OC$, $OB = OD$.

b) Biết $AC = 12$ cm, $BD = 16$ cm. Tính $OA$, $OB$.

c) Chứng minh $\triangle AOB = \triangle COD$.

d) Chứng minh $\triangle AOD = \triangle COB$.

Bài 6 (Thực tế): Một sân chơi hình bình hành có cạnh $30$ m và $40$ m, chiều cao tương ứng với cạnh $40$ m là $25$ m.

a) Tính chu vi sân chơi.

b) Tính diện tích sân chơi.

c) Nếu lát gạch với giá $200.000$ đồng/m², tính chi phí.

d) Nếu tăng mỗi cạnh thêm $5$ m, chu vi tăng thêm bao nhiêu?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $32$ cm; b) $\hat{B} = 110°$, $\hat{C} = 70°$, $\hat{D} = 110°$; c) $AB = DC$, $AD = BC$; d) $OA = OC$, $OB = OD$

Bài 2: a) Dấu hiệu 5; b) $26$ cm; c) $\hat{B} = 115°$, $\hat{C} = 65°$, $\hat{D} = 115°$; d) $32$ cm²

Bài 3: a) $38$ cm; b) $120$ cm²; c) $14$ cm; d) $8$ cm

Bài 4: Chứng minh bằng định lý và tính chất

Bài 5: a) Tính chất hình bình hành; b) $OA = 6$ cm, $OB = 8$ cm; c, d) Chứng minh bằng c.g.c

Bài 6: a) $140$ m; b) $1000$ m²; c) $200.000.000$ đồng; d) Tăng $20$ m