🔍 Khám phá 📖 I. LÝ THUYẾT 1. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 1. Bình phương của một tổng:
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
2. Bình phương của một hiệu:
( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2
3. Hiệu hai bình phương:
a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b )
4. Lập phương của một tổng:
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
5. Lập phương của một hiệu:
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
6. Tổng hai lập phương:
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
7. Hiệu hai lập phương:
a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
2. Ứng dụng tính nhanh Tính bình phương:
101 2 = ( 100 + 1 ) 2 = 100 2 + 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 1 2 = 10201 101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10201 10 1 2 = ( 100 + 1 ) 2 = 10 0 2 + 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 1 2 = 10201 99 2 = ( 100 − 1 ) 2 = 100 2 − 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 1 2 = 9801 99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 9801 9 9 2 = ( 100 − 1 ) 2 = 10 0 2 − 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 1 2 = 9801 Tính tích:
98 × 102 = ( 100 − 2 ) ( 100 + 2 ) = 100 2 − 2 2 = 9996 98 \times 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 100^2 - 2^2 = 9996 98 × 102 = ( 100 − 2 ) ( 100 + 2 ) = 10 0 2 − 2 2 = 9996 103 × 97 = ( 100 + 3 ) ( 100 − 3 ) = 100 2 − 3 2 = 9991 103 \times 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 9991 103 × 97 = ( 100 + 3 ) ( 100 − 3 ) = 10 0 2 − 3 2 = 9991 3. Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
a x + a y = a ( x + y ) ax + ay = a(x + y) a x + a y = a ( x + y )
Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3 ) 2 x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3 ) 2 x 2 − 16 = ( x − 4 ) ( x + 4 ) x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) x 2 − 16 = ( x − 4 ) ( x + 4 ) x 3 + 8 = ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 ) x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) x 3 + 8 = ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 ) Phương pháp 3: Nhóm hạng tử
a x + a y + b x + b y = a ( x + y ) + b ( x + y ) = ( a + b ) ( x + y ) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) a x + a y + b x + b y = a ( x + y ) + b ( x + y ) = ( a + b ) ( x + y )
Phương pháp 4: Tách hạng tử
x 2 + 5 x + 6 = x 2 + 2 x + 3 x + 6 = x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) = ( x + 3 ) ( x + 2 ) x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 3)(x + 2) x 2 + 5 x + 6 = x 2 + 2 x + 3 x + 6 = x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) = ( x + 3 ) ( x + 2 )
4. Các dạng đặc biệt Tam thức bậc hai:
a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) x 1 , x 2 x_1, x_2 x 1 , x 2 a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0
Đa thức bậc cao:
x 4 − 16 = ( x 2 ) 2 − 4 2 = ( x 2 − 4 ) ( x 2 + 4 ) = ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) x 4 − 16 = ( x 2 ) 2 − 4 2 = ( x 2 − 4 ) ( x 2 + 4 ) = ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) x 6 − 1 = ( x 3 ) 2 − 1 2 = ( x 3 − 1 ) ( x 3 + 1 ) x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) x 6 − 1 = ( x 3 ) 2 − 1 2 = ( x 3 − 1 ) ( x 3 + 1 )
🌍 Vận dụng 🌍 III. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Áp dụng hằng đẳng thức cơ bản a) Tính ( x + 3 ) 2 (x + 3)^2 ( x + 3 ) 2
b) Tính ( 2 x − 1 ) 2 (2x - 1)^2 ( 2 x − 1 ) 2
c) Phân tích x 2 − 49 x^2 - 49 x 2 − 49
d) Tính ( x + 2 ) 3 (x + 2)^3 ( x + 2 ) 3
e) Phân tích x 3 − 27 x^3 - 27 x 3 − 27
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) ( x + 3 ) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 ( x + 3 ) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
b) ( 2 x − 1 ) 2 = ( 2 x ) 2 − 2 ⋅ 2 x ⋅ 1 + 1 2 = 4 x 2 − 4 x + 1 (2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1 ( 2 x − 1 ) 2 = ( 2 x ) 2 − 2 ⋅ 2 x ⋅ 1 + 1 2 = 4 x 2 − 4 x + 1
c) x 2 − 49 = x 2 − 7 2 = ( x − 7 ) ( x + 7 ) x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) x 2 − 49 = x 2 − 7 2 = ( x − 7 ) ( x + 7 )
d) ( x + 2 ) 3 = x 3 + 3 x 2 ⋅ 2 + 3 x ⋅ 2 2 + 2 3 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 ( x + 2 ) 3 = x 3 + 3 x 2 ⋅ 2 + 3 x ⋅ 2 2 + 2 3 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8
e) x 3 − 27 = x 3 − 3 3 = ( x − 3 ) ( x 2 + 3 x + 9 ) x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) x 3 − 27 = x 3 − 3 3 = ( x − 3 ) ( x 2 + 3 x + 9 )
Bài 2: Tính nhanh bằng hằng đẳng thức a) Tính 101 2 101^2 10 1 2
b) Tính 98 2 98^2 9 8 2
c) Tính 103 × 97 103 \times 97 103 × 97
d) Tính 49 × 51 49 \times 51 49 × 51
e) Tính 1001 2 1001^2 100 1 2
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) 101 2 = ( 100 + 1 ) 2 = 100 2 + 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 1 2 = 10000 + 200 + 1 = 10201 101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201 10 1 2 = ( 100 + 1 ) 2 = 10 0 2 + 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 1 2 = 10000 + 200 + 1 = 10201
b) 98 2 = ( 100 − 2 ) 2 = 100 2 − 2 ⋅ 100 ⋅ 2 + 2 2 = 10000 − 400 + 4 = 9604 98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604 9 8 2 = ( 100 − 2 ) 2 = 10 0 2 − 2 ⋅ 100 ⋅ 2 + 2 2 = 10000 − 400 + 4 = 9604
c) 103 × 97 = ( 100 + 3 ) ( 100 − 3 ) = 100 2 − 3 2 = 10000 − 9 = 9991 103 \times 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991 103 × 97 = ( 100 + 3 ) ( 100 − 3 ) = 10 0 2 − 3 2 = 10000 − 9 = 9991
d) 49 × 51 = ( 50 − 1 ) ( 50 + 1 ) = 50 2 − 1 2 = 2500 − 1 = 2499 49 \times 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499 49 × 51 = ( 50 − 1 ) ( 50 + 1 ) = 5 0 2 − 1 2 = 2500 − 1 = 2499
e) 1001 2 = ( 1000 + 1 ) 2 = 1000 2 + 2 ⋅ 1000 ⋅ 1 + 1 2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001 1001^2 = (1000 + 1)^2 = 1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 1 + 1^2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001 100 1 2 = ( 1000 + 1 ) 2 = 100 0 2 + 2 ⋅ 1000 ⋅ 1 + 1 2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử - Đặt nhân tử chung a) 3 x 2 + 6 x 3x^2 + 6x 3 x 2 + 6 x
b) 4 x 3 − 8 x 2 + 12 x 4x^3 - 8x^2 + 12x 4 x 3 − 8 x 2 + 12 x
c) x ( x + 1 ) − 3 ( x + 1 ) x(x + 1) - 3(x + 1) x ( x + 1 ) − 3 ( x + 1 )
d) 2 x 2 y + 4 x y 2 − 6 x y 2x^2y + 4xy^2 - 6xy 2 x 2 y + 4 x y 2 − 6 x y
e) ( x + 2 ) 2 − ( x + 2 ) (x + 2)^2 - (x + 2) ( x + 2 ) 2 − ( x + 2 )
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) 3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2 ) 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) 3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2 )
b) 4 x 3 − 8 x 2 + 12 x = 4 x ( x 2 − 2 x + 3 ) 4x^3 - 8x^2 + 12x = 4x(x^2 - 2x + 3) 4 x 3 − 8 x 2 + 12 x = 4 x ( x 2 − 2 x + 3 )
c) x ( x + 1 ) − 3 ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x − 3 ) x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(x - 3) x ( x + 1 ) − 3 ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x − 3 )
d) 2 x 2 y + 4 x y 2 − 6 x y = 2 x y ( x + 2 y − 3 ) 2x^2y + 4xy^2 - 6xy = 2xy(x + 2y - 3) 2 x 2 y + 4 x y 2 − 6 x y = 2 x y ( x + 2 y − 3 )
e) ( x + 2 ) 2 − ( x + 2 ) = ( x + 2 ) [ ( x + 2 ) − 1 ] = ( x + 2 ) ( x + 1 ) (x + 2)^2 - (x + 2) = (x + 2)[(x + 2) - 1] = (x + 2)(x + 1) ( x + 2 ) 2 − ( x + 2 ) = ( x + 2 ) [( x + 2 ) − 1 ] = ( x + 2 ) ( x + 1 )
Bài 4: Phân tích đa thức - Dùng hằng đẳng thức a) x 2 + 4 x + 4 x^2 + 4x + 4 x 2 + 4 x + 4
b) 9 x 2 − 12 x + 4 9x^2 - 12x + 4 9 x 2 − 12 x + 4
c) x 2 − 25 x^2 - 25 x 2 − 25
d) 8 x 3 + 1 8x^3 + 1 8 x 3 + 1
e) x 6 − 64 x^6 - 64 x 6 − 64
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 2 = ( x + 2 ) 2 x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2 x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 2 = ( x + 2 ) 2
b) 9 x 2 − 12 x + 4 = ( 3 x ) 2 − 2 ⋅ 3 x ⋅ 2 + 2 2 = ( 3 x − 2 ) 2 9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = (3x - 2)^2 9 x 2 − 12 x + 4 = ( 3 x ) 2 − 2 ⋅ 3 x ⋅ 2 + 2 2 = ( 3 x − 2 ) 2
c) x 2 − 25 = x 2 − 5 2 = ( x − 5 ) ( x + 5 ) x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5) x 2 − 25 = x 2 − 5 2 = ( x − 5 ) ( x + 5 )
d) 8 x 3 + 1 = ( 2 x ) 3 + 1 3 = ( 2 x + 1 ) [ ( 2 x ) 2 − 2 x ⋅ 1 + 1 2 ] = ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 − 2 x + 1 ) 8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x + 1)[(2x)^2 - 2x \cdot 1 + 1^2] = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) 8 x 3 + 1 = ( 2 x ) 3 + 1 3 = ( 2 x + 1 ) [( 2 x ) 2 − 2 x ⋅ 1 + 1 2 ] = ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 − 2 x + 1 )
e) x 6 − 64 = ( x 3 ) 2 − 8 2 = ( x 3 − 8 ) ( x 3 + 8 ) = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 ) x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) x 6 − 64 = ( x 3 ) 2 − 8 2 = ( x 3 − 8 ) ( x 3 + 8 ) = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 )
Bài 5: Phân tích đa thức - Nhóm hạng tử a) x 2 + 2 x + y 2 + 2 y x^2 + 2x + y^2 + 2y x 2 + 2 x + y 2 + 2 y
b) a x + a y + b x + b y ax + ay + bx + by a x + a y + b x + b y
c) x 3 + x 2 + x + 1 x^3 + x^2 + x + 1 x 3 + x 2 + x + 1
d) 2 x 2 − 4 x + x y − 2 y 2x^2 - 4x + xy - 2y 2 x 2 − 4 x + x y − 2 y
e) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 x^3 - 3x^2 + 3x - 1 x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) x 2 + 2 x + y 2 + 2 y = x ( x + 2 ) + y ( y + 2 ) = ( x + y ) ( x + y + 2 ) x^2 + 2x + y^2 + 2y = x(x + 2) + y(y + 2) = (x + y)(x + y + 2) x 2 + 2 x + y 2 + 2 y = x ( x + 2 ) + y ( y + 2 ) = ( x + y ) ( x + y + 2 ) ( x 2 + y 2 ) + 2 ( x + y ) = ( x + y ) 2 − 2 x y + 2 ( x + y ) (x^2 + y^2) + 2(x + y) = (x + y)^2 - 2xy + 2(x + y) ( x 2 + y 2 ) + 2 ( x + y ) = ( x + y ) 2 − 2 x y + 2 ( x + y )
b) a x + a y + b x + b y = a ( x + y ) + b ( x + y ) = ( a + b ) ( x + y ) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) a x + a y + b x + b y = a ( x + y ) + b ( x + y ) = ( a + b ) ( x + y )
c) x 3 + x 2 + x + 1 = x 2 ( x + 1 ) + ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1) x 3 + x 2 + x + 1 = x 2 ( x + 1 ) + ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )
d) 2 x 2 − 4 x + x y − 2 y = 2 x ( x − 2 ) + y ( x − 2 ) = ( 2 x + y ) ( x − 2 ) 2x^2 - 4x + xy - 2y = 2x(x - 2) + y(x - 2) = (2x + y)(x - 2) 2 x 2 − 4 x + x y − 2 y = 2 x ( x − 2 ) + y ( x − 2 ) = ( 2 x + y ) ( x − 2 )
e) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 = ( x − 1 ) 3 x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3 x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 = ( x − 1 ) 3
Bài 6: Phân tích đa thức - Tách hạng tử a) x 2 + 5 x + 6 x^2 + 5x + 6 x 2 + 5 x + 6
b) x 2 − 7 x + 12 x^2 - 7x + 12 x 2 − 7 x + 12
c) 2 x 2 + 7 x + 3 2x^2 + 7x + 3 2 x 2 + 7 x + 3
d) x 2 − x − 6 x^2 - x - 6 x 2 − x − 6
e) 3 x 2 − 10 x + 8 3x^2 - 10x + 8 3 x 2 − 10 x + 8
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) x 2 + 5 x + 6 = x 2 + 2 x + 3 x + 6 = x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) = ( x + 3 ) ( x + 2 ) x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 3)(x + 2) x 2 + 5 x + 6 = x 2 + 2 x + 3 x + 6 = x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) = ( x + 3 ) ( x + 2 )
b) x 2 − 7 x + 12 = x 2 − 3 x − 4 x + 12 = x ( x − 3 ) − 4 ( x − 3 ) = ( x − 4 ) ( x − 3 ) x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x + 12 = x(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 4)(x - 3) x 2 − 7 x + 12 = x 2 − 3 x − 4 x + 12 = x ( x − 3 ) − 4 ( x − 3 ) = ( x − 4 ) ( x − 3 )
c) 2 x 2 + 7 x + 3 = 2 x 2 + 6 x + x + 3 = 2 x ( x + 3 ) + ( x + 3 ) = ( 2 x + 1 ) ( x + 3 ) 2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3) = (2x + 1)(x + 3) 2 x 2 + 7 x + 3 = 2 x 2 + 6 x + x + 3 = 2 x ( x + 3 ) + ( x + 3 ) = ( 2 x + 1 ) ( x + 3 )
d) x 2 − x − 6 = x 2 + 2 x − 3 x − 6 = x ( x + 2 ) − 3 ( x + 2 ) = ( x − 3 ) ( x + 2 ) x^2 - x - 6 = x^2 + 2x - 3x - 6 = x(x + 2) - 3(x + 2) = (x - 3)(x + 2) x 2 − x − 6 = x 2 + 2 x − 3 x − 6 = x ( x + 2 ) − 3 ( x + 2 ) = ( x − 3 ) ( x + 2 )
e) 3 x 2 − 10 x + 8 = 3 x 2 − 6 x − 4 x + 8 = 3 x ( x − 2 ) − 4 ( x − 2 ) = ( 3 x − 4 ) ( x − 2 ) 3x^2 - 10x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8 = 3x(x - 2) - 4(x - 2) = (3x - 4)(x - 2) 3 x 2 − 10 x + 8 = 3 x 2 − 6 x − 4 x + 8 = 3 x ( x − 2 ) − 4 ( x − 2 ) = ( 3 x − 4 ) ( x − 2 )
Bài 7: Bài toán tổng hợp a) Rút gọn biểu thức: ( x + 1 ) 2 − ( x − 1 ) 2 (x + 1)^2 - (x - 1)^2 ( x + 1 ) 2 − ( x − 1 ) 2
b) Chứng minh: ( a + b ) 3 − a 3 − b 3 = 3 a b ( a + b ) (a + b)^3 - a^3 - b^3 = 3ab(a + b) ( a + b ) 3 − a 3 − b 3 = 3 ab ( a + b )
c) Tính giá trị biểu thức x 2 + 4 x + 4 x^2 + 4x + 4 x 2 + 4 x + 4 x = 96 x = 96 x = 96
d) Phân tích: x 4 − 1 x^4 - 1 x 4 − 1
e) Tìm x x x x 2 − 6 x + 9 = 0 x^2 - 6x + 9 = 0 x 2 − 6 x + 9 = 0
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) ( x + 1 ) 2 − ( x − 1 ) 2 = [ ( x + 1 ) − ( x − 1 ) ] [ ( x + 1 ) + ( x − 1 ) ] = 2 ⋅ 2 x = 4 x (x + 1)^2 - (x - 1)^2 = [(x + 1) - (x - 1)][(x + 1) + (x - 1)] = 2 \cdot 2x = 4x ( x + 1 ) 2 − ( x − 1 ) 2 = [( x + 1 ) − ( x − 1 )] [( x + 1 ) + ( x − 1 )] = 2 ⋅ 2 x = 4 x
b) ( a + b ) 3 − a 3 − b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 − a 3 − b 3 = 3 a 2 b + 3 a b 2 = 3 a b ( a + b ) (a + b)^3 - a^3 - b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 - b^3 = 3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b) ( a + b ) 3 − a 3 − b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 − a 3 − b 3 = 3 a 2 b + 3 a b 2 = 3 ab ( a + b )
c) x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 ) 2 x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 ) 2 x = 96 x = 96 x = 96 ( 96 + 2 ) 2 = 98 2 = 9604 (96 + 2)^2 = 98^2 = 9604 ( 96 + 2 ) 2 = 9 8 2 = 9604
d) x 4 − 1 = ( x 2 ) 2 − 1 2 = ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 1 ) = ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) x 4 − 1 = ( x 2 ) 2 − 1 2 = ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 1 ) = ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )
e) x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 = 0 x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 = 0 x = 3 x = 3 x = 3
Bài 8: Bài toán thực tế - Hình học a) Một hình vuông có cạnh ( x + 2 ) (x + 2) ( x + 2 ) x x x
b) Nếu tăng mỗi cạnh thêm 3 cm, diện tích tăng thêm bao nhiêu?
c) Một hình chữ nhật có chiều dài ( x + 5 ) (x + 5) ( x + 5 ) ( x − 3 ) (x - 3) ( x − 3 )
d) So sánh diện tích hình vuông và hình chữ nhật khi x = 10 x = 10 x = 10
e) Tìm x x x
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) Diện tích hình vuông: S 1 = ( x + 2 ) 2 = x 2 + 4 x + 4 S_1 = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 S 1 = ( x + 2 ) 2 = x 2 + 4 x + 4
b) Diện tích mới: ( x + 5 ) 2 = x 2 + 10 x + 25 (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 ( x + 5 ) 2 = x 2 + 10 x + 25 ( x 2 + 10 x + 25 ) − ( x 2 + 4 x + 4 ) = 6 x + 21 (x^2 + 10x + 25) - (x^2 + 4x + 4) = 6x + 21 ( x 2 + 10 x + 25 ) − ( x 2 + 4 x + 4 ) = 6 x + 21
c) Diện tích hình chữ nhật: S 2 = ( x + 5 ) ( x − 3 ) = x 2 + 2 x − 15 S_2 = (x + 5)(x - 3) = x^2 + 2x - 15 S 2 = ( x + 5 ) ( x − 3 ) = x 2 + 2 x − 15
d) Khi x = 10 x = 10 x = 10 S 1 = 10 2 + 4 ( 10 ) + 4 = 144 S_1 = 10^2 + 4(10) + 4 = 144 S 1 = 1 0 2 + 4 ( 10 ) + 4 = 144 S 2 = 10 2 + 2 ( 10 ) − 15 = 105 S_2 = 10^2 + 2(10) - 15 = 105 S 2 = 1 0 2 + 2 ( 10 ) − 15 = 105
e) Để S 1 = 2 S 2 S_1 = 2S_2 S 1 = 2 S 2 x 2 + 4 x + 4 = 2 ( x 2 + 2 x − 15 ) x^2 + 4x + 4 = 2(x^2 + 2x - 15) x 2 + 4 x + 4 = 2 ( x 2 + 2 x − 15 ) x 2 + 4 x + 4 = 2 x 2 + 4 x − 30 x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 4x - 30 x 2 + 4 x + 4 = 2 x 2 + 4 x − 30 x 2 = 34 x^2 = 34 x 2 = 34 x = 34 x = \sqrt{34} x = 34
Bài 9: Bài toán nâng cao (Câu lớn) Cho biểu thức A = ( x + 1 ) 3 − ( x − 1 ) 3 − 6 x A = (x + 1)^3 - (x - 1)^3 - 6x A = ( x + 1 ) 3 − ( x − 1 ) 3 − 6 x
a) Rút gọn biểu thức A A A
b) Tính giá trị của A A A x = 5 x = 5 x = 5
c) Tìm x x x A = 0 A = 0 A = 0
d) Chứng minh rằng A A A x x x
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A 2 A^2 A 2
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) A = ( x + 1 ) 3 − ( x − 1 ) 3 − 6 x A = (x + 1)^3 - (x - 1)^3 - 6x A = ( x + 1 ) 3 − ( x − 1 ) 3 − 6 x = ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ) − ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 ) − 6 x = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 6x = ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ) − ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 ) − 6 x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 − x 3 + 3 x 2 − 3 x + 1 − 6 x = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 - 6x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 − x 3 + 3 x 2 − 3 x + 1 − 6 x = 6 x 2 − 6 x + 2 = 6 x ( x − 1 ) + 2 = 6x^2 - 6x + 2 = 6x(x - 1) + 2 = 6 x 2 − 6 x + 2 = 6 x ( x − 1 ) + 2
b) Khi x = 5 x = 5 x = 5 A = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 + 2 = 120 + 2 = 122 A = 6 \cdot 5 \cdot 4 + 2 = 120 + 2 = 122 A = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 + 2 = 120 + 2 = 122
c) Để A = 0 A = 0 A = 0 6 x ( x − 1 ) + 2 = 0 6x(x - 1) + 2 = 0 6 x ( x − 1 ) + 2 = 0 6 x 2 − 6 x + 2 = 0 6x^2 - 6x + 2 = 0 6 x 2 − 6 x + 2 = 0 3 x 2 − 3 x + 1 = 0 3x^2 - 3x + 1 = 0 3 x 2 − 3 x + 1 = 0 Δ = 9 − 12 = − 3 < 0 \Delta = 9 - 12 = -3 < 0 Δ = 9 − 12 = − 3 < 0
d) A = 6 x ( x − 1 ) + 2 A = 6x(x - 1) + 2 A = 6 x ( x − 1 ) + 2 x x x x ( x − 1 ) x(x-1) x ( x − 1 ) 6 x ( x − 1 ) 6x(x-1) 6 x ( x − 1 ) A A A
e) A = 6 x 2 − 6 x + 2 = 6 ( x 2 − x ) + 2 = 6 ( x − 1 2 ) 2 − 3 2 + 2 = 6 ( x − 1 2 ) 2 + 1 2 A = 6x^2 - 6x + 2 = 6(x^2 - x) + 2 = 6(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} + 2 = 6(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} A = 6 x 2 − 6 x + 2 = 6 ( x 2 − x ) + 2 = 6 ( x − 2 1 ) 2 − 2 3 + 2 = 6 ( x − 2 1 ) 2 + 2 1 A 2 A^2 A 2 A A A x = 1 2 x = \frac{1}{2} x = 2 1 A m i n = 1 2 A_{min} = \frac{1}{2} A min = 2 1 A m i n 2 = 1 4 A^2_{min} = \frac{1}{4} A min 2 = 4 1
Bài 10: Bài toán nâng cao (Câu lớn) Một công ty xây dựng có lợi nhuận theo công thức:
P ( x ) = ( x + 10 ) 2 − ( x − 5 ) 2 − 75 P(x) = (x + 10)^2 - (x - 5)^2 - 75 P ( x ) = ( x + 10 ) 2 − ( x − 5 ) 2 − 75 x x x
a) Rút gọn biểu thức P ( x ) P(x) P ( x )
b) Tính lợi nhuận khi thực hiện 8 dự án
c) Tìm số dự án để công ty hòa vốn (lợi nhuận = 0)
d) Tìm số dự án để lợi nhuận đạt 200 triệu đồng
e) Biết chi phí cố định là 50 triệu đồng, doanh thu mỗi dự án là ( 2 x + 15 ) (2x + 15) ( 2 x + 15 ) P ( x ) P(x) P ( x )
📊 Xem lời giải Lời giải:
a) P ( x ) = ( x + 10 ) 2 − ( x − 5 ) 2 − 75 P(x) = (x + 10)^2 - (x - 5)^2 - 75 P ( x ) = ( x + 10 ) 2 − ( x − 5 ) 2 − 75 = [ ( x + 10 ) − ( x − 5 ) ] [ ( x + 10 ) + ( x − 5 ) ] − 75 = [(x + 10) - (x - 5)][(x + 10) + (x - 5)] - 75 = [( x + 10 ) − ( x − 5 )] [( x + 10 ) + ( x − 5 )] − 75 = 15 ( 2 x + 5 ) − 75 = 30 x + 75 − 75 = 30 x = 15(2x + 5) - 75 = 30x + 75 - 75 = 30x = 15 ( 2 x + 5 ) − 75 = 30 x + 75 − 75 = 30 x
b) Khi x = 8 x = 8 x = 8 P ( 8 ) = 30 ⋅ 8 = 240 P(8) = 30 \cdot 8 = 240 P ( 8 ) = 30 ⋅ 8 = 240
c) Để hòa vốn: P ( x ) = 0 P(x) = 0 P ( x ) = 0 30 x = 0 30x = 0 30 x = 0 x = 0 x = 0 x = 0
d) Để P ( x ) = 200 P(x) = 200 P ( x ) = 200 30 x = 200 30x = 200 30 x = 200 x = 20 3 ≈ 6.67 x = \frac{20}{3} ≈ 6.67 x = 3 20 ≈ 6.67
e) Lợi nhuận tổng quát: L ( x ) = x ( 2 x + 15 ) − 50 = 2 x 2 + 15 x − 50 L(x) = x(2x + 15) - 50 = 2x^2 + 15x - 50 L ( x ) = x ( 2 x + 15 ) − 50 = 2 x 2 + 15 x − 50 P ( x ) = 30 x P(x) = 30x P ( x ) = 30 x P ( x ) P(x) P ( x )