Lớp 8 · Chương 1: Đa thức

Bài 2: Đa thức

🚀 Khởi động

🏗️ Đa thức — Xây dựng từ đơn thức

Nếu đơn thức là viên gạch, thì đa thức là bức tường được xây từ nhiều viên gạch đó!

📈

Quỹ đạo vật thể

$h = - 5 t^{2} + 20 t + 10$

💰

Lãi suất kép

$A = P (1 + r)^{n}$

🌡️

Nhiệt độ theo thời gian

$T = a t^{2} + b t + c$

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm đa thức

Định nghĩa: Đa thức là tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức.

Ví dụ các đa thức:

Đa thức	Số hạng tử	Phân tích
$x^{2} + 3 x - 5$	3	Ba hạng tử: $x^{2}$ , $3 x$ , $- 5$
$2 x^{3} - x + 1$	3	Ba hạng tử: $2 x^{3}$ , $- x$ , $1$
$5 x y - 2 x^{2} y + 3$	3	Ba hạng tử: $5 x y$ , $- 2 x^{2} y$ , $3$
$x^{4}$	1	Một hạng tử (đơn thức cũng là đa thức)

Lưu ý:

Mỗi đơn thức đều là đa thức (có 1 hạng tử)
Số 0 cũng được coi là đa thức (đa thức không)

📊 2. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đó (sau khi đã thu gọn).

Quy ước: Đa thức 0 không có bậc.

Ví dụ tính bậc:

Đa thức	Bậc các hạng tử	Bậc đa thức
$3 x^{4} - 2 x^{2} + 5$	$4, 2, 0$	$4$
$x^{3} y + 2 x y^{2} - 1$	$4, 3, 0$	$4$
$5 x^{2} - 3 x^{2} + x$	$2, 2, 1$ → thu gọn: $2 x^{2} + x$	$2$
$7$	$0$	$0$

🔢 3. Hệ số cao nhất và hệ số tự do

Hệ số cao nhất: Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất

Hệ số tự do: Số hạng không chứa biến (hạng tử bậc 0)

Ví dụ:

Cho đa thức $P (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + 5 x - 7$

Bậc: $4$
Hệ số cao nhất: $3$
Hệ số tự do: $- 7$

📋 4. Sắp xếp đa thức

Sắp xếp đa thức theo lũy thừa của biến có thể:

Giảm dần: Từ bậc cao đến bậc thấp
Tăng dần: Từ bậc thấp đến bậc cao

Ví dụ 1: Sắp xếp $P (x) = 5 - 3 x + 2 x^{3} - x^{2}$

Giảm dần: $P (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 3 x + 5$

Tăng dần: $P (x) = 5 - 3 x - x^{2} + 2 x^{3}$

Ví dụ 2: Sắp xếp $Q (x) = x^{2} - 5 + 3 x^{4} - 2 x$

Giảm dần: $Q (x) = 3 x^{4} + x^{2} - 2 x - 5$

🎯 5. Giá trị của đa thức

Giá trị của đa thức tại một giá trị cụ thể của biến được tính bằng cách thay giá trị đó vào biến.

Kí hiệu: $P (a)$ là giá trị của đa thức $P (x)$ tại $x = a$

Ví dụ 3: Cho $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ . Tính $P (0)$ , $P (1)$ , $P (2)$ .

$P (0) = 0^{2} - 3 \cdot 0 + 2 = 2$

$P (1) = 1^{2} - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

$P (2) = 2^{2} - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

Nhận xét: $P (1) = P (2) = 0$ , ta nói 1 và 2 là nghiệm của đa thức $P (x)$ .

🎲 6. Nghiệm của đa thức

Nghiệm của đa thức $P (x)$ là giá trị của $x$ làm cho $P (x) = 0$ .

Ví dụ 4: Tìm nghiệm của $P (x) = 2 x - 6$

Cho $P (x) = 0$ :

$2 x - 6 = 0$

$2 x = 6$

$x = 3$

Vậy $x = 3$ là nghiệm của $P (x)$ .

✂️ 7. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức: Cộng các hạng tử đồng dạng lại với nhau.

Ví dụ 5: Thu gọn $P (x) = 3 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} + 3 - 2 x$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$P (x) = (3 x^{2} - 2 x^{2}) + (5 x - 2 x) + 3$

$P (x) = x^{2} + 3 x + 3$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Biểu thức nào sau đây là đa thức?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một vật được ném lên cao với vận tốc ban đầu. Độ cao $h$ (m) sau $t$ giây được tính bởi công thức:

$h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 10$

Tính độ cao sau 1 giây, 2 giây và 3 giây.

Giải:

$h (1) = - 5 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 + 10 = - 5 + 20 + 10 = 25$ m

$h (2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 + 10 = - 20 + 40 + 10 = 30$ m

$h (3) = - 5 \cdot 3^{2} + 20 \cdot 3 + 10 = - 45 + 60 + 10 = 25$ m

📝 Bài toán 2: Một công ty sản xuất có chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được tính bởi:

$C (x) = 0, 5 x^{2} + 10 x + 500$ (nghìn đồng)

Tính chi phí khi sản xuất 20 sản phẩm và 50 sản phẩm.

Giải:

$C (20) = 0, 5 \cdot 2 0^{2} + 10 \cdot 20 + 500 = 200 + 200 + 500 = 900$ nghìn đồng

$C (50) = 0, 5 \cdot 5 0^{2} + 10 \cdot 50 + 500 = 1250 + 500 + 500 = 2250$ nghìn đồng

⭐ Ghi nhớ

Đa thức: tổng các đơn thức
Bậc: bậc của hạng tử cao nhất
Hệ số cao nhất: hệ số của hạng tử bậc cao nhất
Hệ số tự do: số hạng không chứa biến
Sắp xếp: theo lũy thừa tăng/giảm
Nghiệm: giá trị làm $P (x) = 0$
Thu gọn: cộng các hạng tử đồng dạng

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đa thức $P (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 7$

a) Xác định bậc của đa thức.

b) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do.

c) Tính $P (0)$ , $P (1)$ , $P (- 1)$ .

d) Đa thức $P (x)$ có bao nhiêu hạng tử? Kể tên các hạng tử đó.

Bài 2: Thu gọn các đa thức sau:

a) $Q (x) = 5 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + 7 x - 1$

b) $R (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - x^{3} + 5 x^{2} - 2$

c) $S (x) = 4 x^{2} y - 3 x y^{2} + 2 x^{2} y - x y^{2} + 5$

d) $T (x) = - x^{4} + 3 x^{2} - 2 + x^{4} - x^{2} + 7$

Bài 3: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến:

a) $A (x) = 5 - 3 x + 2 x^{3} - x^{2}$

b) $B (x) = x^{2} - 5 x^{4} + 3 x - 7 + 2 x^{3}$

c) $C (y) = 3 y - y^{3} + 2 y^{2} - 4 + y^{4}$

d) $D (t) = - t + 5 t^{3} - 2 t^{2} + 8 - 3 t^{4}$

Bài 4: Cho đa thức $M (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 2$

a) Tính $M (0)$ , $M (2)$ , $M (- 1)$ .

b) Chứng tỏ $x = 2$ là nghiệm của đa thức $M (x)$ .

c) Tìm $a$ để $M (a) = 2$ .

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của $M (x)$ khi $x = 1$ .

Bài 5: Cho hai đa thức:

$P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 1$

$Q (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 4$

a) Tính bậc của mỗi đa thức.

b) Tính $P (1)$ và $Q (1)$ .

c) So sánh $P (2)$ và $Q (2)$ .

d) Tìm $x$ để $P (x) = Q (x)$ .

Bài 6 (Thực tế): Một vật được ném lên cao với độ cao (tính bằng mét) sau $t$ giây được cho bởi công thức:

$h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 10$

a) Tính độ cao ban đầu của vật (khi $t = 0$ ).

b) Tính độ cao của vật sau 1 giây, 2 giây, 3 giây.

c) Tại thời điểm nào vật đạt độ cao 30 m?

d) Sau bao lâu vật chạm đất (tức $h (t) = 0$ )?

📊 Đáp số

Bài 1: a) Bậc 4; b) Hệ số cao nhất: $3$ , hệ số tự do: $- 7$ ; c) $P (0) = - 7$ , $P (1) = - 1$ , $P (- 1) = - 9$ ; d) 4 hạng tử: $3 x^{4}$ , $- 2 x^{2}$ , $5 x$ , $- 7$

Bài 2: a) $7 x^{2} + 4 x - 1$ ; b) $3 x^{2} + 3 x - 2$ ; c) $6 x^{2} y - 4 x y^{2} + 5$ ; d) $2 x^{2} + 5$

Bài 3: a) $2 x^{3} - x^{2} - 3 x + 5$ ; b) $- 5 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 3 x - 7$ ; c) $y^{4} - y^{3} + 2 y^{2} + 3 y - 4$ ; d) $- 3 t^{4} + 5 t^{3} - 2 t^{2} - t + 8$

Bài 4: a) $M (0) = 2$ , $M (2) = 0$ , $M (- 1) = - 6$ ; b) $M (2) = 0$ nên $x = 2$ là nghiệm; c) $a = 0$ ; d) $M (1) = 2$

Bài 5: a) Cả hai đều bậc 3; b) $P (1) = 3$ , $Q (1) = 2$ ; c) $P (2) = 13$ , $Q (2) = - 2$ , vậy $P (2) > Q (2)$ ; d) $x = \frac{5}{3}$

Bài 6: a) $h (0) = 10$ m; b) $h (1) = 25$ m, $h (2) = 30$ m, $h (3) = 25$ m; c) $t = 2$ giây; d) Khoảng $4, 45$ giây