Lớp 8 · Chương 1: Đa thức

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức

🚀 Khởi động

➕➖ Cộng trừ đa thức

Giống như cộng trừ số, ta cũng có thể cộng trừ các đa thức để tạo ra đa thức mới!

💰

Tổng thu nhập

Thu nhập A: $P (x)$ , Thu nhập B: $Q (x)$ → Tổng: $P (x) + Q (x)$

📊

Chênh lệch

Doanh thu: $R (x)$ , Chi phí: $C (x)$ → Lợi nhuận: $R (x) - C (x)$

🔍 Khám phá

📖 1. Phép cộng đa thức

Quy tắc cộng đa thức:

Bỏ dấu ngoặc (nếu có)
Nhóm các hạng tử đồng dạng
Cộng các hệ số của hạng tử đồng dạng

Ví dụ 1: Tính $(3 x^{2} + 2 x - 1) + (- x^{2} + 5 x + 3)$

Bước 1: Bỏ dấu ngoặc

$= 3 x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 5 x + 3$

Bước 2: Nhóm hạng tử đồng dạng

$= (3 x^{2} - x^{2}) + (2 x + 5 x) + (- 1 + 3)$

Bước 3: Tính

$= 2 x^{2} + 7 x + 2$

📖 2. Phép trừ đa thức

Quy tắc trừ đa thức:

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu nếu trước ngoặc có dấu trừ)
Nhóm các hạng tử đồng dạng
Cộng/trừ các hệ số

Ví dụ 2: Tính $(5 x^{3} - 2 x + 4) - (3 x^{3} + x - 1)$

Bước 1: Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu)

$= 5 x^{3} - 2 x + 4 - 3 x^{3} - x + 1$

Bước 2: Nhóm

$= (5 x^{3} - 3 x^{3}) + (- 2 x - x) + (4 + 1)$

Bước 3: Tính

$= 2 x^{3} - 3 x + 5$

🔑 3. Quy tắc dấu ngoặc

Quy tắc:

Dấu $+$ trước ngoặc: giữ nguyên dấu các hạng tử
Dấu $-$ trước ngoặc: đổi dấu tất cả các hạng tử

Ví dụ 3:

$+ (2 x^{2} - 3 x + 1) = 2 x^{2} - 3 x + 1$

$- (2 x^{2} - 3 x + 1) = - 2 x^{2} + 3 x - 1$

✨ 4. Tính chất

Phép cộng đa thức có các tính chất:

Giao hoán: $P + Q = Q + P$
Kết hợp: $(P + Q) + R = P + (Q + R)$
Cộng với 0: $P + 0 = P$

🔍 5. Tìm đa thức chưa biết

Ví dụ 4: Tìm $P (x)$ biết $P (x) + (2 x^{2} - 3 x) = 5 x^{2} + x - 1$

$P (x) = (5 x^{2} + x - 1) - (2 x^{2} - 3 x)$

$P (x) = 5 x^{2} + x - 1 - 2 x^{2} + 3 x$

$P (x) = 3 x^{2} + 4 x - 1$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Tổng của $P(x) = 3x^2 + 2x - 1$ và $Q(x) = -x^2 + 5x + 3$ là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Doanh thu của công ty A trong tháng thứ $x$ là $R (x) = 100 x^{2} + 500 x$ (triệu đồng). Chi phí là $C (x) = 50 x^{2} + 200 x + 1000$ (triệu đồng). Tính lợi nhuận.

Lợi nhuận = Doanh thu - Chi phí

$L (x) = R (x) - C (x)$

$L (x) = (100 x^{2} + 500 x) - (50 x^{2} + 200 x + 1000)$

$L (x) = 50 x^{2} + 300 x - 1000$ (triệu đồng)

📝 Bài toán 2: Nhiệt độ tại địa điểm A là $T_{A} (t) = - 2 t^{2} + 10 t + 20$ (°C). Nhiệt độ tại địa điểm B là $T_{B} (t) = - t^{2} + 8 t + 15$ (°C). Tính chênh lệch nhiệt độ.

$D e l t a T (t) = T_{A} (t) - T_{B} (t)$

$D e l t a T (t) = (- 2 t^{2} + 10 t + 20) - (- t^{2} + 8 t + 15)$

$D e l t a T (t) = - t^{2} + 2 t + 5$ (°C)

⭐ Ghi nhớ

Cộng: bỏ ngoặc, nhóm đồng dạng, cộng hệ số
Trừ: đổi dấu khi bỏ ngoặc có dấu $-$
Dấu $+$ trước ngoặc: giữ nguyên dấu
Dấu $-$ trước ngoặc: đổi dấu tất cả
Tính chất: giao hoán, kết hợp

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện phép cộng các đa thức:

a) $(3 x^{2} + 2 x - 5) + (x^{2} - 4 x + 3)$

b) $(5 x^{3} - 2 x + 1) + (- 3 x^{3} + 5 x - 7)$

c) $(2 x^{2} y - 3 x y + 1) + (x^{2} y + 5 x y - 2)$

d) $(x^{4} - 2 x^{2} + 3) + (- x^{4} + 3 x^{2} - 5 x + 1)$

Bài 2: Thực hiện phép trừ các đa thức:

a) $(5 x^{2} + 3 x - 2) - (2 x^{2} - x + 4)$

b) $(4 x^{3} - 2 x^{2} + x) - (x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 2)$

c) $(7 x y^{2} - 3 x^{2} y) - (2 x y^{2} + 4 x^{2} y - 1)$

d) $(3 x^{4} - 5 x^{2} + 7) - (3 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 3)$

Bài 3: Bỏ dấu ngoặc và thu gọn:

a) $(2 x^{2} - 3 x + 1) + (x^{2} + 5 x - 2) - (3 x^{2} - 2 x + 4)$

b) $(5 x^{3} - 2 x) - (3 x^{3} + x - 4) + (x^{3} - 3 x + 1)$

c) $2 x - (3 x - 5) + (x^{2} - 2 x + 1)$

d) $- (x^{3} - 2 x^{2}) + (3 x^{3} + x^{2} - 5) - (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1)$

Bài 4: Cho $P (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ và $Q (x) = - x^{2} + 3 x - 4$

a) Tính $P (x) + Q (x)$ .

b) Tính $P (x) - Q (x)$ .

c) Tính $Q (x) - P (x)$ .

d) Tìm đa thức $M (x)$ biết $M (x) + Q (x) = P (x)$ .

Bài 5: Cho ba đa thức:

$A (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1$

$B (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 3$

$C (x) = x^{3} - x^{2} + 4 x - 2$

a) Tính $A (x) + B (x) + C (x)$ .

b) Tính $A (x) - B (x) - C (x)$ .

c) Tính $2 A (x) - B (x) + C (x)$ .

d) Tìm $x$ để $A (x) + B (x) = C (x)$ .

Bài 6 (Thực tế): Doanh thu của một cửa hàng trong tháng thứ $x$ là $R (x) = 50 x^{2} + 200 x + 1000$ (nghìn đồng). Chi phí là $C (x) = 30 x^{2} + 100 x + 500$ (nghìn đồng).

a) Viết biểu thức tính lợi nhuận $L (x) = R (x) - C (x)$ .

b) Tính lợi nhuận trong tháng thứ 3.

c) Tháng thứ mấy cửa hàng bắt đầu có lợi nhuận (tức $L (x) > 0$ )?

d) Nếu tăng doanh thu thêm $10 x^{2}$ nghìn đồng mỗi tháng, lợi nhuận tháng thứ 5 là bao nhiêu?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $4 x^{2} - 2 x - 2$ ; b) $2 x^{3} + 3 x - 6$ ; c) $3 x^{2} y + 2 x y - 1$ ; d) $x^{2} - 5 x + 4$

Bài 2: a) $3 x^{2} + 4 x - 6$ ; b) $3 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 2$ ; c) $5 x y^{2} - 7 x^{2} y + 1$ ; d) $2 x^{3} - 6 x^{2} + 10$

Bài 3: a) $4 x - 5$ ; b) $3 x^{3} - 6 x - 3$ ; c) $x^{2} + x + 6$ ; d) $4 x^{2} - 4$

Bài 4: a) $2 x^{2} - 2 x - 2$ ; b) $4 x^{2} - 8 x + 6$ ; c) $- 4 x^{2} + 8 x - 6$ ; d) $M (x) = 4 x^{2} - 8 x + 6$

Bài 5: a) $2 x^{3} - 2 x^{2} + 0 x + 0 = 2 x^{3} - 2 x^{2}$ ; b) $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2$ ; c) $4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x - 3$ ; d) $x = 0$

Bài 6: a) $L (x) = 20 x^{2} + 100 x + 500$ (nghìn đồng); b) $L (3) = 1280$ nghìn đồng; c) Luôn có lợi nhuận (vì $L (x) > 0$ với mọi $x \geq 0$ ); d) $L^{'} (5) = 2650$ nghìn đồng