🚀 Khởi động

🔍 Mở đầu — Hình đồng dạng trong thực tế

Hai hình đồng dạng xuất hiện khắp nơi xung quanh ta:

📸

Ảnh phóng to/thu nhỏ

Ảnh gốc và ảnh phóng to có hình dạng giống nhau

🗺️

Bản đồ

Bản đồ là hình thu nhỏ của địa hình thực tế

🏗️

Mô hình kiến trúc

Mô hình nhà là phiên bản thu nhỏ của ngôi nhà thật

📐

Thiết kế kỹ thuật

Bản vẽ kỹ thuật theo tỉ lệ

💬 Hai tam giác đồng dạng có hình dạng giống nhau nhưng kích thước có thể khác nhau!

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa tam giác đồng dạng

Định nghĩa: Hai tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ được gọi là đồng dạng (ký hiệu: $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$) nếu:

1. Các góc tương ứng bằng nhau: $\hat{A}=\widehat{A^{\prime }},\hat{B}=\widehat{B^{\prime }},\hat{C}=\widehat{C^{\prime }}$

2. Các cạnh tương ứng tỉ lệ: $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}=k$

Số $k$ gọi là tỉ số đồng dạng (hay hệ số đồng dạng).

Lưu ý quan trọng:

• Thứ tự các đỉnh trong ký hiệu đồng dạng phải tương ứng
• $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nghĩa là: $A\leftrightarrow A^{\prime }$, $B\leftrightarrow B^{\prime }$, $C\leftrightarrow C^{\prime }$

Ví dụ 1: Cho $△ABC$ có $AB=6$ cm, $BC=8$ cm, $CA=10$ cm và $△DEF$ có $DE=3$ cm, $EF=4$ cm, $FD=5$ cm. Các góc tương ứng bằng nhau.

Giải:

Kiểm tra tỉ lệ các cạnh:

$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{3}=2$ $\frac{BC}{EF}=\frac{8}{4}=2$ $\frac{CA}{FD}=\frac{10}{5}=2$

Vì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tỉ lệ với $k=2$:

$△ABC\sim △DEF$

📊 2. Tính chất của tam giác đồng dạng

Tính chất:

1. Phản xạ: $△ABC\sim △ABC$ (với $k=1$)

2. Đối xứng: Nếu $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ thì $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim △ABC$

3. Bắc cầu: Nếu $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim △A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }{C}^{\prime \prime }$ thì $△ABC\sim △A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }{C}^{\prime \prime }$

4. Tỉ số chu vi: Nếu $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với tỉ số $k$ thì: $\frac{P_{ABC}}{P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=k$

5. Tỉ số diện tích: Nếu $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với tỉ số $k$ thì: $\frac{S_{ABC}}{S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=k^2$

Ví dụ 2: Cho $△ABC\sim △DEF$ với $AB=9$ cm, $DE=6$ cm.

a) Tính tỉ số đồng dạng

b) Nếu chu vi $△ABC$ là 27 cm, tính chu vi $△DEF$

c) Nếu diện tích $△ABC$ là 36 cm², tính diện tích $△DEF$

Giải:

a) Tỉ số đồng dạng:

$k=\frac{AB}{DE}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

b) Tỉ số chu vi:

$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=k=\frac{3}{2}$

$P_{DEF}=\frac{2\times P_{ABC}}{3}=\frac{2\times 27}{3}=18\text{ cm}$

c) Tỉ số diện tích:

$\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=k^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$

$S_{DEF}=\frac{4\times S_{ABC}}{9}=\frac{4\times 36}{9}=16{\text{ cm}}^2$

⭐ 3. Trường hợp đặc biệt

Hai tam giác bằng nhau:

Hai tam giác bằng nhau là trường hợp đặc biệt của tam giác đồng dạng với tỉ số $k=1$.

$△ABC=△DEF\Rightarrow △ABC\sim △DEF\text{ (với }k=1\text{)}$

Ví dụ 3: Cho $△ABC$ có $AB=5$ cm, $BC=7$ cm, $CA=8$ cm và $△MNP$ có $MN=5$ cm, $NP=7$ cm, $PM=8$ cm.

Giải:

Các cạnh tương ứng bằng nhau:

$\frac{AB}{MN}=\frac{5}{5}=1$ $\frac{BC}{NP}=\frac{7}{7}=1$ $\frac{CA}{PM}=\frac{8}{8}=1$

Vậy $△ABC=△MNP$ (theo trường hợp c.c.c)

Đồng thời: $△ABC\sim △MNP$ với $k=1$

🔬 4. Công cụ tương tác

Khám phá tam giác đồng dạng với công cụ tương tác:

💡 Kéo đỉnh A, B, C để khám phá tính chất tam giác

Độ dài cạnh

AB = 0BC = 0CA = 0

Góc (°)

∠A = 0°∠B = 0°∠C = 0°

∠A + ∠B + ∠C = 0°

Tổng ba góc trong tam giác luôn bằng 180°

✏️ 5. Ví dụ tổng hợp

Ví dụ 4: Cho $△ABC\sim △MNP$ với $\hat{A}=50°$, $\hat{B}=60°$, $AB=12$ cm, $MN=8$ cm, $NP=10$ cm.

a) Tính $\hat{C}$ và $\hat{M}$, $\hat{N}$, $\hat{P}$

b) Tính $BC$ và $CA$

Giải:

a) Trong $△ABC$:

$\hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}=180°-50°-60°=70°$

Vì $△ABC\sim △MNP$:

$\hat{M}=\hat{A}=50°$ $\hat{N}=\hat{B}=60°$ $\hat{P}=\hat{C}=70°$

b) Tỉ số đồng dạng:

$k=\frac{AB}{MN}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Tính $BC$:

$\frac{BC}{NP}=k\Rightarrow BC=k\times NP=\frac{3}{2}\times 10=15\text{ cm}$

Để tính $CA$, cần biết $MP$ (không đủ dữ liệu trong đề).

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Hai tam giác đồng dạng có:

ACác góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệBCác góc bằng nhauCCác cạnh bằng nhauDDiện tích bằng nhau

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 — Bản đồ:

Trên bản đồ tỉ lệ 1:50000, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 6 cm. Tính khoảng cách thực tế.

Giải:

Tỉ lệ 1:50000 nghĩa là $k=\frac{1}{50000}$

Khoảng cách thực tế:

$d=\frac{6}{k}=6\times 50000=300000\text{ cm}=3\text{ km}$

---

📝 Bài toán 2 — Mô hình kiến trúc:

Một mô hình nhà có chiều cao 30 cm, tương ứng với chiều cao thực tế 6 m. Nếu chiều dài mô hình là 40 cm, tính chiều dài thực tế.

Giải:

Tỉ số đồng dạng:

$k=\frac{30\text{ cm}}{600\text{ cm}}=\frac{1}{20}$

Chiều dài thực tế:

$L=\frac{40}{k}=40\times 20=800\text{ cm}=8\text{ m}$

---

📝 Bài toán 3 — Đo chiều cao:

Một cây cao tạo bóng dài 12 m. Cùng lúc đó, một cột cao 2 m tạo bóng dài 3 m. Tính chiều cao của cây.

Giải:

Hai tam giác tạo bởi cây, bóng và tia sáng mặt trời đồng dạng:

$\frac{h_{c\hat{a}y}}{h_{cột}}=\frac{l_{c\hat{a}y}}{l_{cột}}$

$\frac{h_{c\hat{a}y}}{2}=\frac{12}{3}$

$h_{c\hat{a}y}=2\times 4=8\text{ m}$

⭐ Ghi nhớ

• Định nghĩa: $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ khi góc bằng nhau và cạnh tỉ lệ
• Tỉ số đồng dạng: $k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}$
• Tỉ số chu vi: $\frac{P}{P^{\prime }}=k$
• Tỉ số diện tích: $\frac{S}{S^{\prime }}=k^2$
• Tam giác bằng nhau: Trường hợp đặc biệt với $k=1$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho $△ABC$ có $AB=9$ cm, $BC=12$ cm, $CA=15$ cm và $△DEF$ có $DE=6$ cm, $EF=8$ cm, $FD=10$ cm. Các góc tương ứng bằng nhau.

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Nếu chu vi $△ABC$ là 36 cm, tính chu vi $△DEF$

---

Bài 2: Cho $△MNP\sim △M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$ với tỉ số đồng dạng $k=\frac{5}{3}$.

a) Biết $MN=10$ cm, tính $M^{\prime }{N}^{\prime }$

b) Biết chu vi $△MNP$ là 30 cm, tính chu vi $△M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$

c) Biết diện tích $△MNP$ là 50 cm², tính diện tích $△M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$

d) Nếu $\hat{M}=45°$, tính $\widehat{M^{\prime }}$

---

Bài 3: Cho $△ABC$ có $\hat{A}=60°$, $\hat{B}=50°$, $AB=8$ cm và $△XYZ$ có $\hat{X}=60°$, $\hat{Y}=50°$, $XY=12$ cm.

a) Chứng minh $△ABC\sim △XYZ$

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Biết $BC=6$ cm, tính $YZ$

d) Nếu diện tích $△ABC$ là 24 cm², tính diện tích $△XYZ$

---

Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Một kiến trúc sư thiết kế mô hình nhà theo tỉ lệ 1:50.

a) Nếu chiều cao thực tế của ngôi nhà là 10 m, tính chiều cao mô hình (đơn vị: cm)

b) Nếu chiều dài mô hình là 30 cm, tính chiều dài thực tế (đơn vị: m)

c) Diện tích mặt bằng mô hình là 360 cm². Tính diện tích mặt bằng thực tế (đơn vị: m²)

d) Nếu thể tích mô hình là 2160 cm³, tính thể tích thực tế (đơn vị: m³)

---

Bài 5 (Nâng cao): Cho $△ABC$ có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, $BC=10$ cm. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM=3$ cm, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AN=4$ cm.

a) Chứng minh $△AMN\sim △ABC$

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Tính độ dài $MN$

d) Tính tỉ số diện tích $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}$

e) Chứng minh $MN\parallel BC$

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $\frac{AB}{DE}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$; $\frac{BC}{EF}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$; $\frac{CA}{FD}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$

Ba cạnh tỉ lệ và các góc tương ứng bằng nhau $\Rightarrow △ABC\sim △DEF$

b) $k=\frac{3}{2}$

c) $P_{DEF}=\frac{2\times 36}{3}=24$ cm

---

Bài 2:

a) $M^{\prime }{N}^{\prime }=\frac{3\times 10}{5}=6$ cm

b) $P_{M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }}=\frac{3\times 30}{5}=18$ cm

c) $S_{M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }}=\frac{9\times 50}{25}=18$ cm²

d) $\widehat{M^{\prime }}=45°$ (góc tương ứng bằng nhau)

---

Bài 3:

a) Có $\hat{A}=\hat{X}=60°$ và $\hat{B}=\hat{Y}=50°$ nên $△ABC\sim △XYZ$ (g.g)

b) $k=\frac{XY}{AB}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

c) $YZ=\frac{3\times 6}{2}=9$ cm

d) $S_{XYZ}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2\times 24=\frac{9}{4}\times 24=54$ cm²

---

Bài 4:

a) Chiều cao mô hình: $\frac{1000}{50}=20$ cm

b) Chiều dài thực tế: $30\times 50=1500$ cm = 15 m

c) Diện tích thực tế: $360\times 50^2=360\times 2500=900000$ cm² = 90 m²

d) Thể tích thực tế: $2160\times 50^3=2160\times 125000=270000000$ cm³ = 270 m³

---

Bài 5:

a) $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; $\frac{AN}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Có $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ và $\hat{A}$ chung nên $△AMN\sim △ABC$ (c.g.c)

b) $k=\frac{1}{2}$

c) $MN=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm

d) $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=k^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

e) Vì $△AMN\sim △ABC$ nên $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (hai góc ở vị trí đồng vị) $\Rightarrow MN\parallel BC$