🚀 Khởi động

🌍 Hình đồng dạng trong cuộc sống

Khái niệm đồng dạng không chỉ áp dụng cho tam giác mà còn cho mọi hình trong thực tế!

🗺️

Bản đồ

Thu nhỏ theo tỉ lệ

📸

Ảnh phóng to

Giữ nguyên hình dạng

🏗️

Mô hình kiến trúc

Thu nhỏ công trình

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm hình đồng dạng

Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng hình dạng nhưng có thể khác kích thước.

Cụ thể:

• Các góc tương ứng bằng nhau
• Các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau

Tỉ số đồng dạng: Tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai hình đồng dạng gọi là tỉ số đồng dạng, kí hiệu $k$.

Ví dụ 1: Hai hình chữ nhật $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có:

• $AB=4$ cm, $BC=6$ cm
• $A^{\prime }{B}^{\prime }=6$ cm, $B^{\prime }{C}^{\prime }=9$ cm

Kiểm tra: $$\begin{gathered} frac{A}^{\prime }{B}^{\prime }AB= \\ frac64= \\ frac32 \end{gathered}$$ và $$\begin{gathered} frac{B}^{\prime }{C}^{\prime }BC= \\ frac96= \\ frac32 \end{gathered}$$

Các cạnh tỉ lệ và các góc đều vuông $Rightarrow$ Hai hình chữ nhật đồng dạng với $$\begin{gathered} k= \\ frac32 \end{gathered}$$

🔍 2. Các hình luôn đồng dạng

Một số hình đặc biệt luôn đồng dạng với nhau:

1. Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng

• Lý do: Bốn góc vuông bằng nhau, bốn cạnh tỉ lệ

2. Hai hình tròn bất kì luôn đồng dạng

• Lý do: Cùng hình dạng, tỉ số bán kính

3. Hai tam giác đều bất kì luôn đồng dạng

• Lý do: Ba góc $60°$ bằng nhau, ba cạnh tỉ lệ

Lưu ý:

• Hai hình chữ nhật không phải lúc nào cũng đồng dạng (tỉ lệ cạnh có thể khác nhau)
• Hai hình thoi không phải lúc nào cũng đồng dạng (góc có thể khác nhau)

🔑 3. Tính chất của hình đồng dạng

Tính chất 1: Nếu hai hình đồng dạng với tỉ số $k$ thì:

• Tỉ số chu vi = $k$
• Tỉ số diện tích = $k^2$
• Tỉ số thể tích = $k^3$ (với hình khối)

Ví dụ 2: Hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k=2$.

• Nếu tam giác nhỏ có chu vi $12$ cm thì tam giác lớn có chu vi $$\begin{gathered} 12 \\ times2=24 \end{gathered}$$ cm
• Nếu tam giác nhỏ có diện tích $10$ cm² thì tam giác lớn có diện tích $$\begin{gathered} 10 \\ times{2}^2=40 \end{gathered}$$ cm²

📐 4. Ứng dụng: Tỉ lệ bản đồ

Tỉ lệ bản đồ là tỉ số giữa khoảng cách trên bản đồ và khoảng cách thực tế.

Ví dụ 3: Bản đồ tỉ lệ $1:100000$ nghĩa là:

• $1$ cm trên bản đồ = $100000$ cm = $1000$ m = $1$ km thực tế

Bài toán: Trên bản đồ tỉ lệ $1:50000$, khoảng cách giữa hai điểm là $6$ cm. Khoảng cách thực tế là:

$$\begin{gathered} 6 \\ times50000=300000 \end{gathered}$$ cm = $3000$ m = $3$ km

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Hai hình đồng dạng có:

ACùng hình dạng nhưng khác kích thướcBCùng kích thước nhưng khác hình dạngCCùng hình dạng và kích thướcDKhông liên quan gì đến nhau

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một mô hình tháp Eiffel cao $50$ cm được làm theo tỉ lệ $1:600$. Tính chiều cao thực của tháp.

Giải:

Chiều cao thực: $$\begin{gathered} 50 \\ times600=30000 \end{gathered}$$ cm = $300$ m

📝 Bài toán 2: Một bức ảnh kích thước $10$ cm × $15$ cm được phóng to thành ảnh $20$ cm × $30$ cm. Tỉ số đồng dạng và tỉ số diện tích là bao nhiêu?

Giải:

Tỉ số đồng dạng: $$\begin{gathered} k= \\ frac2010=2 \end{gathered}$$

Tỉ số diện tích: $k^2=2^2=4$

Kiểm tra: $$\begin{gathered} frac20 \\ times3010 \\ times15= \\ frac600150=4 \end{gathered}$$ ✓

📝 Bài toán 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài $40$ m, chiều rộng $30$ m. Vẽ sơ đồ tỉ lệ $1:500$, kích thước trên giấy là bao nhiêu?

Giải:

Chiều dài trên giấy: $frac4000500=8$ cm

Chiều rộng trên giấy: $frac3000500=6$ cm

📝 Bài toán 4: Hai hình vuông đồng dạng có tỉ số cạnh $3:5$. Nếu hình vuông nhỏ có diện tích $18$ cm², hình vuông lớn có diện tích bao nhiêu?

Giải:

Tỉ số diện tích: $$\begin{gathered} left( \\ frac53 \\ right{)}^2= \\ frac259 \end{gathered}$$

Diện tích hình lớn: $$\begin{gathered} 18 \\ times \\ frac259=50 \end{gathered}$$ cm²

⭐ Ghi nhớ

• Hình đồng dạng: cùng hình dạng, khác kích thước
• Luôn đồng dạng: hình vuông, hình tròn, tam giác đều
• Tỉ số chu vi = $k$
• Tỉ số diện tích = $k^2$
• Tỉ lệ bản đồ: $1:n$ nghĩa là $1$ cm = $n$ cm thực tế

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=8$ cm, $BC=6$ cm và hình chữ nhật $MNPQ$ có $MN=12$ cm, $NP=9$ cm.

a) Chứng minh hai hình chữ nhật đồng dạng

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Tính tỉ số chu vi và tỉ số diện tích

d) Nếu diện tích $ABCD$ là 48 cm², tính diện tích $MNPQ$

---

Bài 2: Cho hai hình vuông có cạnh lần lượt là 5 cm và 8 cm.

a) Hai hình vuông có đồng dạng không? Tại sao?

b) Tính tỉ số đồng dạng

c) Tính tỉ số chu vi

d) Tính tỉ số diện tích

---

Bài 3: Trên bản đồ tỉ lệ 1:25000.

a) Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ trên bản đồ là 8 cm. Tính khoảng cách thực tế (đơn vị: km)

b) Một khu rừng hình chữ nhật trên bản đồ có kích thước 4 cm × 3 cm. Tính diện tích thực tế của khu rừng (đơn vị: ha)

c) Một con đường thẳng dài 5 km trên thực tế. Tính độ dài của nó trên bản đồ (đơn vị: cm)

---

Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Một nhiếp ảnh gia có bức ảnh gốc kích thước 20 cm × 30 cm.

a) Phóng to ảnh với tỉ lệ 1,5 lần. Tính kích thước ảnh mới

b) Thu nhỏ ảnh gốc xuống còn chiều dài 15 cm. Tính chiều rộng ảnh mới

c) Nếu diện tích ảnh gốc là 600 cm², tính diện tích ảnh sau khi phóng to 2 lần

d) Một bức ảnh khác đồng dạng với ảnh gốc có chiều dài 40 cm. Tính chiều rộng và diện tích bức ảnh này

---

Bài 5 (Nâng cao): Một kiến trúc sư thiết kế mô hình tòa nhà theo tỉ lệ 1:100.

a) Chiều cao thực tế của tòa nhà là 45 m. Tính chiều cao mô hình (đơn vị: cm)

b) Diện tích mặt bằng mô hình là 400 cm². Tính diện tích mặt bằng thực tế (đơn vị: m²)

c) Thể tích mô hình là 1800 cm³. Tính thể tích thực tế (đơn vị: m³)

d) Nếu làm mô hình theo tỉ lệ 1:50 thì chiều cao mô hình sẽ là bao nhiêu? So sánh với mô hình tỉ lệ 1:100

e) Giải thích tại sao tỉ lệ diện tích là bình phương tỉ lệ độ dài và tỉ lệ thể tích là lập phương tỉ lệ độ dài

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $\frac{MN}{AB}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$; $\frac{NP}{BC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Các cạnh tỉ lệ và các góc đều vuông nên hai hình chữ nhật đồng dạng

b) $k=\frac{3}{2}$

c) Tỉ số chu vi: $\frac{P_{MNPQ}}{P_{ABCD}}=k=\frac{3}{2}$

Tỉ số diện tích: $\frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}=k^2=\frac{9}{4}$

d) $S_{MNPQ}=48\times \frac{9}{4}=108$ cm²

---

Bài 2:

a) Có, vì hai hình vuông luôn đồng dạng (bốn góc vuông bằng nhau, bốn cạnh tỉ lệ)

b) $k=\frac{8}{5}$

c) Tỉ số chu vi: $\frac{P_2}{P_1}=\frac{8}{5}$

d) Tỉ số diện tích: $\frac{S_2}{S_1}={\left(\frac{8}{5}\right)}^2=\frac{64}{25}$

---

Bài 3:

a) Khoảng cách thực tế: $8\times 25000=200000$ cm = 2 km

b) Kích thước thực tế: $4\times 25000=100000$ cm = 1000 m và $3\times 25000=75000$ cm = 750 m

Diện tích: $1000\times 750=750000$ m² = 75 ha

c) Độ dài trên bản đồ: $\frac{500000}{25000}=20$ cm

---

Bài 4:

a) Kích thước mới: $20\times 1,5=30$ cm và $30\times 1,5=45$ cm

b) Tỉ số: $k=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

Chiều rộng: $30\times \frac{3}{4}=22,5$ cm

c) Diện tích mới: $600\times 2^2=600\times 4=2400$ cm²

d) Tỉ số: $k=\frac{40}{20}=2$

Chiều rộng: $30\times 2=60$ cm

Diện tích: $600\times 2^2=2400$ cm²

---

Bài 5:

a) Chiều cao mô hình: $\frac{4500}{100}=45$ cm

b) Diện tích thực tế: $400\times 100^2=400\times 10000=4000000$ cm² = 400 m²

c) Thể tích thực tế: $1800\times 100^3=1800\times 1000000=1800000000$ cm³ = 1800 m³

d) Chiều cao mô hình tỉ lệ 1:50: $\frac{4500}{50}=90$ cm

So sánh: Mô hình 1:50 cao gấp đôi mô hình 1:100 (vì $\frac{90}{45}=2$)

e) - Diện tích có đơn vị là đơn vị bình phương (cm², m²), nên khi tỉ lệ độ dài là $k$ thì tỉ lệ diện tích là $k^2$

• Thể tích có đơn vị là đơn vị lập phương (cm³, m³), nên khi tỉ lệ độ dài là $k$ thì tỉ lệ thể tích là $k^3$

Ví dụ: Hình vuông cạnh $a$ có diện tích $a^2$. Nếu phóng to $k$ lần thì cạnh mới là $ka$, diện tích mới là $(ka{)}^2=k^2{a}^2$