Lớp 8 · Chương 1: Đa thức

Bài 5: Phép chia đa thức cho đơn thức

🚀 Khởi động

➗ Chia đa thức cho đơn thức

Phép chia là phép toán ngược của phép nhân, giúp ta đơn giản hóa biểu thức!

📏

Tìm chiều rộng

$S = 6 x^{2} + 9 x$ , dài $3 x$ → rộng $(6 x^{2} + 9 x) : 3 x$

⚡

Rút gọn biểu thức

Đơn giản hóa công thức phức tạp

🔍 Khám phá

📖 1. Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc: Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức, rồi cộng các thương lại.

$(a + b) : c = a : c + b : c$ (với $c n e q 0$ )

Điều kiện: Đơn thức chia phải khác 0 và mỗi hạng tử của đa thức phải chia hết cho đơn thức.

✏️ 2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: $(6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x) : 3 x$

Chia từng hạng tử:

$= 6 x^{3} : 3 x - 9 x^{2} : 3 x + 3 x : 3 x$

$= 2 x^{2} - 3 x + 1$

Ví dụ 2: $(15 x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} + 5 x^{2} y) : 5 x^{2} y$

$= 15 x^{4} y : 5 x^{2} y - 10 x^{3} y^{2} : 5 x^{2} y + 5 x^{2} y : 5 x^{2} y$

$= 3 x^{2} - 2 x y + 1$

⚠️ 3. Lưu ý quan trọng

Đơn thức chia phải khác 0
Mỗi hạng tử phải chia hết cho đơn thức
Khi chia: hệ số chia hệ số, số mũ trừ số mũ

Ví dụ 3: Kiểm tra phép chia

$(x^{3} + x) : x^{2}$ không thực hiện được vì $x : x^{2} = x^{- 1}$ (số mũ âm)

$(6 x^{2} - 4 x) : 2 x = 3 x - 2$ ✓ (thực hiện được)

🔍 4. Ứng dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử:

$6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x = 3 x (2 x^{2} - 3 x + 1)$

Kiểm tra: $3 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x$ ✓

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Thương của $(6x^3 - 9x^2) : 3x$ là:

🌍 Vận dụng

📝 Bài toán: Một hình chữ nhật có diện tích $S = 12 x^{3} - 8 x^{2}$ (cm²) và chiều dài $4 x$ (cm). Tính chiều rộng.

Chiều rộng $= S :$ chiều dài

$= (12 x^{3} - 8 x^{2}) : 4 x$

$= 3 x^{2} - 2 x$ (cm)

⭐ Ghi nhớ

Quy tắc: chia từng hạng tử cho đơn thức
Điều kiện: đơn thức chia $n e q 0$
Cách chia: hệ số chia hệ số, số mũ trừ số mũ
Kiểm tra: nhân ngược lại để kiểm tra

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện phép chia:

a) $(6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x) : 3 x$

b) $(10 x^{4} - 15 x^{3} + 5 x^{2}) : 5 x^{2}$

c) $(8 y^{5} - 12 y^{4} + 4 y^{3}) : 4 y^{3}$

d) $(21 a^{4} b^{3} - 14 a^{3} b^{2} + 7 a^{2} b) : 7 a^{2} b$

Bài 2: Thực hiện phép chia và tìm điều kiện:

a) $(12 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x) : 4 x$

b) $(15 y^{4} - 10 y^{3} + 5 y^{2}) : 5 y$

c) $(18 x^{2} y^{3} - 12 x y^{2} + 6 x y) : 6 x y$

d) $(20 a^{3} b^{2} - 15 a^{2} b^{3} + 10 a b^{2}) : 5 ab$

Bài 3: Kiểm tra xem phép chia sau có thực hiện được không? Nếu được, hãy thực hiện:

a) $(x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) : x^{2}$

b) $(6 x^{3} - 4 x) : 2 x^{2}$

c) $(9 y^{5} - 6 y^{3} + 3 y) : 3 y$

d) $(12 a^{4} - 8 a^{2} + 4) : 4 a$

Bài 4: Tìm đa thức $A$ biết:

a) $A c d o t 3 x = 6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

b) $A c d o t 2 x^{2} = 8 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}$

c) $A c d o t 5 x y = 15 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2} + 5 x y^{2}$

d) $A c d o t (- 4 x^{2} y) = 12 x^{4} y^{2} - 8 x^{3} y^{2} + 4 x^{2} y^{2}$

Bài 5: Cho đa thức $P (x) = 12 x^{4} - 18 x^{3} + 6 x^{2}$

a) Phân tích $P (x)$ thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung.

b) Tính giá trị của $P (x)$ khi $x = 2$ .

c) Tìm $x$ để $P (x) = 0$ .

d) Chứng minh rằng $P (x)$ chia hết cho $6 x^{2}$ với mọi $x n e q 0$ .

Bài 6 (Thực tế): Một hình chữ nhật có diện tích $S = 24 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x$ (cm²) và chiều dài $6 x$ (cm).

a) Tìm biểu thức tính chiều rộng của hình chữ nhật.

b) Tính chiều rộng khi $x = 2$ cm.

c) Tìm $x$ để chiều rộng bằng $10$ cm.

d) Nếu tăng chiều dài thêm $2 x$ cm, diện tích tăng thêm bao nhiêu? (Chiều rộng không đổi)

📊 Đáp số

Bài 1: a) $2 x^{2} - 3 x + 1$ ; b) $2 x^{2} - 3 x + 1$ ; c) $2 y^{2} - 3 y + 1$ ; d) $3 a^{2} b^{2} - 2 ab + 1$

Bài 2: a) $3 x^{2} - 2 x + 1$ (ĐK: $x n e q 0$ ); b) $3 y^{3} - 2 y^{2} + y$ (ĐK: $y n e q 0$ ); c) $3 x y^{2} - 2 y + 1$ (ĐK: $x n e q 0, y n e q 0$ ); d) $4 a^{2} b - 3 a b^{2} + 2 b$ (ĐK: $a n e q 0, b n e q 0$ )

Bài 3: a) Được, $x^{2} - 2 x + 1$ ; b) Không được (vì $4 x : 2 x^{2} = 2 x^{- 1}$ ); c) Được, $3 y^{4} - 2 y^{2} + 1$ ; d) Không được (vì $4 : 4 a$ không chia hết)

Bài 4: a) $A = 2 x^{2} - 3 x + 4$ ; b) $A = 4 x^{2} - 3 x + 2$ ; c) $A = 3 x^{2} y - 2 x y + y$ ; d) $A = - 3 x^{2} y - 2 x y + y$

Bài 5: a) $P (x) = 6 x^{2} (2 x^{2} - 3 x + 1)$ ; b) $P (2) = 120$ ; c) $x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = df r a c 12$ ; d) $P (x) : 6 x^{2} = 2 x^{2} - 3 x + 1$ (luôn nguyên)

Bài 6: a) Chiều rộng $= 4 x^{2} - 3 x + 1$ (cm); b) $11$ cm; c) $x = 3$ cm; d) Tăng $(8 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x)$ cm²