Lớp 8 · Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

🚀 Khởi động

🎯 Hằng đẳng thức — Công cụ mạnh mẽ

Hằng đẳng thức giúp ta tính toán nhanh và phân tích đa thức một cách hiệu quả!

⚡

Tính nhanh

$10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10201$

🔧

Phân tích

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$

📐

Rút gọn

$(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$

🔍 Khám phá

📖 1. Bình phương của một tổng

Hằng đẳng thức 1:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Phát biểu: Bình phương của một tổng bằng bình phương số hạng thứ nhất cộng hai lần tích hai số hạng cộng bình phương số hạng thứ hai.

Chứng minh:

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Ví dụ 1:

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 c d o t x c d o t 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

$(2 x + 5)^{2} = (2 x)^{2} + 2 c d o t 2 x c d o t 5 + 5^{2} = 4 x^{2} + 20 x + 25$

Ứng dụng tính nhanh:

$10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10 0^{2} + 2 c d o t 100 c d o t 1 + 1^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$

📖 2. Bình phương của một hiệu

Hằng đẳng thức 2:

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Phát biểu: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số hạng thứ nhất trừ hai lần tích hai số hạng cộng bình phương số hạng thứ hai.

Ví dụ 2:

$(x - 4)^{2} = x^{2} - 2 c d o t x c d o t 4 + 4^{2} = x^{2} - 8 x + 16$

$(3 x - 2)^{2} = (3 x)^{2} - 2 c d o t 3 x c d o t 2 + 2^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4$

Ứng dụng tính nhanh:

$9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10 0^{2} - 2 c d o t 100 c d o t 1 + 1^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$

📖 3. Hiệu hai bình phương

Hằng đẳng thức 3:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Phát biểu: Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu và tổng hai số hạng.

Chứng minh:

$(a - b) (a + b) = a^{2} + ab - ba - b^{2} = a^{2} - b^{2}$

Ví dụ 3:

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2} = (x - 3) (x + 3)$

$4 x^{2} - 25 = (2 x)^{2} - 5^{2} = (2 x - 5) (2 x + 5)$

Ứng dụng tính nhanh:

$103 t im es 97 = (100 + 3) (100 - 3) = 10 0^{2} - 3^{2} = 10000 - 9 = 9991$

🔧 4. Ứng dụng

a) Rút gọn biểu thức:

Ví dụ 4: Rút gọn $(x + 5)^{2} - (x - 5)^{2}$

$= (x^{2} + 10 x + 25) - (x^{2} - 10 x + 25)$

$= x^{2} + 10 x + 25 - x^{2} + 10 x - 25$

$= 20 x$

Cách khác: Dùng $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

$= [(x + 5) - (x - 5)] [(x + 5) + (x - 5)]$

$= [10] [2 x] = 20 x$

b) Chứng minh đẳng thức:

Ví dụ 5: Chứng minh $(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 ab$

VT $= a^{2} + 2 ab + b^{2}$

VP $= (a^{2} - 2 ab + b^{2}) + 4 ab = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Vậy VT = VP (đpcm)

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Khai triển $(x + 3)^2$ được:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một mảnh vườn hình vuông có cạnh $(x + 5)$ m. Tính diện tích.

$S = (x + 5)^{2} = x^{2} + 10 x + 25$ (m²)

📝 Bài toán 2: Tính nhanh diện tích hình vuông cạnh 101 cm.

$S = 10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10201$ cm²

📝 Bài toán 3: Tính nhanh $51 t im es 49$ .

$51 t im es 49 = (50 + 1) (50 - 1) = 5 0^{2} - 1^{2} = 2500 - 1 = 2499$

⭐ Ghi nhớ

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
Ứng dụng: tính nhanh, rút gọn, phân tích

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x + 7)^{2}$

b) $(3 x - 4)^{2}$

c) $(2 x + 5 y)^{2}$

d) $(5 a - 3 b)^{2}$

Bài 2: Phân tích thành nhân tử:

a) $x^{2} - 49$

b) $9 x^{2} - 16$

c) $25 a^{2} - 4 b^{2}$

d) $x^{2} y^{2} - 1$

Bài 3: Tính nhanh:

a) $10 2^{2}$

b) $9 8^{2}$

c) $20 1^{2}$

d) $49 t im es 51$

Bài 4: Rút gọn các biểu thức:

a) $(x + 3)^{2} + (x - 3)^{2}$

b) $(2 x + 1)^{2} - (2 x - 1)^{2}$

c) $(a + b)^{2} - (a - b)^{2}$

d) $(x + 2)^{2} - (x - 1)^{2} - 6 x$

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức:

a) $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$

b) $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$

c) $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a$

d) $a^{2} + b^{2} = df r a c 12 [(a + b)^{2} + (a - b)^{2}]$

Bài 6 (Thực tế): Một mảnh đất hình vuông có cạnh $50$ m. Người ta mở rộng mỗi cạnh thêm $x$ m.

a) Viết biểu thức tính diện tích mảnh đất sau khi mở rộng.

b) Tính diện tích tăng thêm theo $x$ .

c) Nếu $x = 5$ m, diện tích tăng thêm bao nhiêu?

d) Tìm $x$ để diện tích tăng thêm $600$ m².

📊 Đáp số

Bài 1: a) $x^{2} + 14 x + 49$ ; b) $9 x^{2} - 24 x + 16$ ; c) $4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$ ; d) $25 a^{2} - 30 ab + 9 b^{2}$

Bài 2: a) $(x - 7) (x + 7)$ ; b) $(3 x - 4) (3 x + 4)$ ; c) $(5 a - 2 b) (5 a + 2 b)$ ; d) $(x y - 1) (x y + 1)$

Bài 3: a) $10404$ ; b) $9604$ ; c) $40401$ ; d) $2499$

Bài 4: a) $2 x^{2} + 18$ ; b) $8 x$ ; c) $4 ab$ ; d) $3$

Bài 5: Chứng minh bằng khai triển và rút gọn

Bài 6: a) $(50 + x)^{2} = 2500 + 100 x + x^{2}$ (m²); b) $100 x + x^{2}$ (m²); c) $525$ m²; d) $x = 10$ m (loại $x = - 110$ )