Lớp 8 · Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

🚀 Khởi động

🎲 Lập phương — Mở rộng hằng đẳng thức

Sau bình phương, ta tiếp tục khám phá lập phương của tổng và hiệu!

📦

Thể tích khối lập phương

Cạnh $(a + b)$ → $V = (a + b)^{3}$

⚡

Tính nhanh

$1 1^{3} = (10 + 1)^{3} = 1331$

🔍 Khám phá

📖 1. Lập phương của một tổng

Hằng đẳng thức 4:

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

Phát biểu: Lập phương của một tổng bằng lập phương số hạng thứ nhất cộng ba lần bình phương số hạng thứ nhất nhân số hạng thứ hai cộng ba lần số hạng thứ nhất nhân bình phương số hạng thứ hai cộng lập phương số hạng thứ hai.

Chứng minh:

$(a + b)^{3} = (a + b) (a + b)^{2} = (a + b) (a^{2} + 2 ab + b^{2})$

$= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

Ví dụ 1:

$(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} c d o t 2 + 3 x c d o t 4 + 8 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

$(2 x + 1)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$

Tính nhanh:

$1 1^{3} = (10 + 1)^{3} = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331$

📖 2. Lập phương của một hiệu

Hằng đẳng thức 5:

$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Ví dụ 2:

$(x - 3)^{3} = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$

$(2 x - 1)^{3} = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$

Tính nhanh:

$9^{3} = (10 - 1)^{3} = 1000 - 300 + 30 - 1 = 729$

💡 3. Nhận xét

So sánh $(a + b)^{3}$ và $(a - b)^{3}$ :

Giống nhau: Cấu trúc 4 hạng tử, hệ số $1, 3, 3, 1$
Khác nhau: Dấu xen kẽ $+, -, +$ trong $(a - b)^{3}$

Mẹo ghi nhớ: Hệ số $1, 3, 3, 1$ (tam giác Pascal hàng 3)

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Trung bình0 đã trả lời

Khai triển $(x + 2)^3$ được:

🌍 Vận dụng

📝 Bài toán: Một khối lập phương có cạnh $(x + 2)$ cm. Tính thể tích.

$V = (x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ (cm³)

⭐ Ghi nhớ

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
Hệ số: $1, 3, 3, 1$
Ứng dụng: tính nhanh lập phương

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Khai triển:

a) $(x + 3)^{3}$

b) $(2 x - 1)^{3}$

c) $(x + 2 y)^{3}$

d) $(3 a - 2 b)^{3}$

Bài 2: Tính nhanh:

a) $2 1^{3}$

b) $1 9^{3}$

c) $10 1^{3}$

d) $9 9^{3}$

Bài 3: Rút gọn:

a) $(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3}$

b) $(a + 2)^{3} + (a - 2)^{3}$

c) $(x + y)^{3} - (x - y)^{3}$

d) $(2 x + 1)^{3} - (2 x - 1)^{3}$

Bài 4: Tính giá trị:

a) $(x + 2)^{3}$ khi $x = 3$

b) $(x - 1)^{3}$ khi $x = 5$

c) $(2 x + 1)^{3}$ khi $x = 2$

d) $(3 - x)^{3}$ khi $x = 1$

Bài 5: Chứng minh:

a) $(a + b)^{3} - (a - b)^{3} = 2 b (3 a^{2} + b^{2})$

b) $(a + b)^{3} + (a - b)^{3} = 2 a (3 b^{2} + a^{2})$

c) $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)$

d) $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 ab (a - b)$

Bài 6 (Thực tế): Một bể nước hình lập phương có cạnh $(10 + x)$ dm.

a) Viết biểu thức tính thể tích bể.

b) Tính thể tích khi $x = 2$ dm.

c) Nếu cạnh tăng từ $10$ dm lên $(10 + x)$ dm, thể tích tăng thêm bao nhiêu?

d) Tìm $x$ để thể tích bằng $1728$ dm³.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ ; b) $8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$ ; c) $x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$ ; d) $27 a^{3} - 54 a^{2} b + 36 a b^{2} - 8 b^{3}$

Bài 2: a) $9261$ ; b) $6859$ ; c) $1030301$ ; d) $970299$

Bài 3: a) $6 x^{2} + 2$ ; b) $2 a^{3} + 24 a$ ; c) $6 x y^{2} + 2 x^{3}$ ; d) $24 x^{2} + 2$

Bài 4: a) $125$ ; b) $64$ ; c) $125$ ; d) $8$

Bài 5: Chứng minh bằng khai triển

Bài 6: a) $V = 1000 + 300 x + 30 x^{2} + x^{3}$ (dm³); b) $1728$ dm³; c) $300 x + 30 x^{2} + x^{3}$ (dm³); d) $x = 2$ dm