Lớp 8 · Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

🚀 Khởi động

🔗 Phân tích lập phương

Tổng và hiệu hai lập phương có thể phân tích thành nhân tử một cách đẹp đẽ!

➕

Tổng lập phương

$x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

➖

Hiệu lập phương

$x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

🔍 Khám phá

📖 1. Tổng hai lập phương

Hằng đẳng thức 6:

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

Ví dụ 1:

$x^{3} + 8 = x^{3} + 2^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

$27 x^{3} + 1 = (3 x)^{3} + 1^{3} = (3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)$

📖 2. Hiệu hai lập phương

Hằng đẳng thức 7:

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Ví dụ 2:

$x^{3} - 27 = x^{3} - 3^{3} = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

$8 x^{3} - 125 = (2 x)^{3} - 5^{3} = (2 x - 5) (4 x^{2} + 10 x + 25)$

💡 3. Ứng dụng tính nhanh

Ví dụ 3: Tính $7^{3} + 3^{3}$

$7^{3} + 3^{3} = (7 + 3) (7^{2} - 7 c d o t 3 + 3^{2})$

$= 10 (49 - 21 + 9) = 10 t im es 37 = 370$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Trung bình0 đã trả lời

Phân tích $x^3 + 8$ thành nhân tử:

🌍 Vận dụng

📝 Bài toán: Tính $1 3^{3} - 3^{3}$ nhanh.

$1 3^{3} - 3^{3} = (13 - 3) (169 + 39 + 9) = 10 t im es 217 = 2170$

⭐ Ghi nhớ

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
Ứng dụng: phân tích nhân tử, tính nhanh

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Phân tích thành nhân tử:

a) $x^{3} + 1$

b) $x^{3} - 64$

c) $8 x^{3} + 27$

d) $27 x^{3} - 125$

Bài 2: Tính nhanh:

a) $1 1^{3} - 1$

b) $1 0^{3} + 5^{3}$

c) $2 0^{3} - 1 0^{3}$

d) $7^{3} + 3^{3}$

Bài 3: Phân tích:

a) $x^{3} + y^{3}$

b) $a^{3} - 8 b^{3}$

c) $64 x^{3} + 1$

d) $x^{3} y^{3} - 27$

Bài 4: Rút gọn:

a) $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$

b) $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

c) $(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$

d) $(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)$

Bài 5: Chứng minh:

a) $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$

b) $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 ab (a - b)$

c) $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) + (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = 2 a^{3}$

d) $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a)$

Bài 6 (Thực tế): Tính thể tích phần còn lại khi khoét một khối lập phương cạnh $b$ ra khỏi khối lập phương cạnh $a$ (với $a > b$ ).

a) Viết công thức tính thể tích còn lại.

b) Phân tích công thức thành nhân tử.

c) Tính thể tích còn lại khi $a = 10$ cm, $b = 6$ cm.

d) Nếu $a = 2 b$ , tính tỉ lệ thể tích còn lại so với thể tích ban đầu.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ ; b) $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)$ ; c) $(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$ ; d) $(3 x - 5) (9 x^{2} + 15 x + 25)$

Bài 2: a) $1330$ ; b) $1375$ ; c) $7000$ ; d) $370$

Bài 3: a) $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ ; b) $(a - 2 b) (a^{2} + 2 ab + 4 b^{2})$ ; c) $(4 x + 1) (16 x^{2} - 4 x + 1)$ ; d) $(x y - 3) (x^{2} y^{2} + 3 x y + 9)$

Bài 4: a) $x^{3} + 1$ ; b) $x^{3} - 8$ ; c) $8 x^{3} + 27$ ; d) $27 x^{3} - 1$

Bài 5: Chứng minh bằng khai triển

Bài 6: a) $V = a^{3} - b^{3}$ ; b) $V = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ ; c) $784$ cm³; d) $df r a c 78$ hay $87, 5$