Lớp 8 · Chương I: Đa thức

Ôn tập chương 1 - Toán 8

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập chương 1 — Đa thức

Chương 1 giới thiệu về đơn thức, đa thức và các phép tính cơ bản. Đây là nền tảng quan trọng cho việc học đại số!

📐

Đơn thức

Định nghĩa và bậc

📊

Đa thức

Cộng, trừ, nhân

➗

Phép chia

Chia đa thức cho đơn thức

🔍 Khám phá

📖 I. LÝ THUYẾT

1. Đơn thức

Định nghĩa: Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích của các số và các biến.

Ví dụ: $3$ , $x$ , $- 2 y$ , $5 x^{2} y^{3}$ đều là đơn thức.

Bậc của đơn thức:

Đơn thức chỉ có số (khác 0): bậc 0
Đơn thức có biến: tổng số mũ của tất cả các biến

Đơn thức đồng dạng: Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng phần biến.

Cộng, trừ đơn thức đồng dạng: $a x^{m} + b x^{m} = (a + b) x^{m}$

2. Đa thức

Định nghĩa: Đa thức là tổng của những đơn thức.

Bậc của đa thức: Bậc của đơn thức có bậc cao nhất trong đa thức đó.

Hệ số cao nhất: Hệ số của đơn thức có bậc cao nhất.

Sắp xếp đa thức: Có thể sắp xếp theo lũy thừa tăng dần hoặc giảm dần của biến.

Giá trị của đa thức: Thay giá trị cụ thể của biến vào đa thức.

3. Phép cộng và phép trừ đa thức

Quy tắc:

Cộng: $(P + Q) (x) = P (x) + Q (x)$
Trừ: $(P - Q) (x) = P (x) - Q (x)$

Cách thực hiện:

Bỏ dấu ngoặc (chú ý dấu trừ)
Nhóm các đơn thức đồng dạng
Cộng trừ các đơn thức đồng dạng

4. Phép nhân đa thức

Nhân đơn thức với đa thức: $A (x) \cdot (B (x) + C (x)) = A (x) \cdot B (x) + A (x) \cdot C (x)$

Nhân đa thức với đa thức: $(A + B) (C + D) = A C + A D + B C + B D$

Tính chất:

Giao hoán: $P \cdot Q = Q \cdot P$
Kết hợp: $(P \cdot Q) \cdot R = P \cdot (Q \cdot R)$
Phân phối: $P (Q + R) = P Q + P R$

5. Phép chia đa thức cho đơn thức

Điều kiện: Mỗi hạng tử của đa thức phải chia hết cho đơn thức.

Quy tắc: Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức.

$\frac{A + B + C}{M} = \frac{A}{M} + \frac{B}{M} + \frac{C}{M}$

Ví dụ: $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x) : 2 x = 3 x^{2} - 2 x + 1$

✏️ Luyện tập

📝 II. LUYỆN TẬP - TRẮC NGHIỆM

Câu 1 / 16

Dễ0 đã trả lời

Đơn thức nào sau đây có bậc cao nhất?

🌍 Vận dụng

🌍 III. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Đơn thức và bậc của đơn thức

a) Xác định bậc của các đơn thức sau: $3 x^{2} y$ , $- 5 x y^{3} z^{2}$ , $7$

b) Tìm đơn thức đồng dạng với $2 x^{2} y$ trong các đơn thức: $- 3 x^{2} y$ , $5 x y^{2}$ , $x^{2} y$

c) Tính: $3 x^{2} y + (- 2 x^{2} y) + 5 x^{2} y$

d) Cho đơn thức $A = - 2 x^{3} y^{2} z$ . Tìm hệ số và bậc của $A$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Bậc của các đơn thức:

$3 x^{2} y$ : bậc = $2 + 1 = 3$
$- 5 x y^{3} z^{2}$ : bậc = $1 + 3 + 2 = 6$
$7$ : bậc = $0$

b) Đơn thức đồng dạng với $2 x^{2} y$ : $- 3 x^{2} y$ và $x^{2} y$ (cùng phần biến $x^{2} y$ )

c) $3 x^{2} y + (- 2 x^{2} y) + 5 x^{2} y = (3 - 2 + 5) x^{2} y = 6 x^{2} y$

d) Đơn thức $A = - 2 x^{3} y^{2} z$ :

Hệ số: $- 2$
Bậc: $3 + 2 + 1 = 6$

Bài 2: Đa thức và sắp xếp đa thức

a) Cho đa thức $P (x) = 3 x^{3} - 2 x + 5 x^{2} - 1$ . Xác định bậc và hệ số cao nhất

b) Sắp xếp đa thức $P (x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến

c) Tính $P (1)$ và $P (- 1)$

d) Tìm $x$ để $P (x) = 5$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $P (x) = 3 x^{3} - 2 x + 5 x^{2} - 1$

Bậc: $3$ (bậc cao nhất)
Hệ số cao nhất: $3$

b) Sắp xếp: $P (x) = 3 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 1$

c) Tính giá trị:

$P (1) = 3 (1)^{3} + 5 (1)^{2} - 2 (1) - 1 = 3 + 5 - 2 - 1 = 5$
$P (- 1) = 3 (- 1)^{3} + 5 (- 1)^{2} - 2 (- 1) - 1 = - 3 + 5 + 2 - 1 = 3$

d) Để $P (x) = 5$ : $3 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 1 = 5$ $3 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 6 = 0$ Từ câu c, ta có $P (1) = 5$ , nên $x = 1$ là một nghiệm.

Bài 3: Phép cộng và trừ đa thức

a) Tính $(2 x^{2} - 3 x + 1) + (x^{2} + 5 x - 2)$

b) Tính $(3 x^{3} - 2 x^{2} + x) - (x^{3} + x^{2} - 3 x + 1)$

c) Cho $A (x) = x^{3} - 2 x + 1$ và $B (x) = 2 x^{2} - x + 3$ . Tính $A (x) + B (x)$

d) Tìm đa thức $C (x)$ biết $A (x) + C (x) = B (x)$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $(2 x^{2} - 3 x + 1) + (x^{2} + 5 x - 2) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

b) $(3 x^{3} - 2 x^{2} + x) - (x^{3} + x^{2} - 3 x + 1) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1$

c) $A (x) + B (x) = (x^{3} - 2 x + 1) + (2 x^{2} - x + 3) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 4$

d) $C (x) = B (x) - A (x) = (2 x^{2} - x + 3) - (x^{3} - 2 x + 1) = - x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$

Bài 4: Phép nhân đa thức

a) Tính $3 x (2 x^{2} - x + 1)$

b) Tính $(x + 2) (x - 3)$

c) Tính $(2 x - 1) (x^{2} + x + 1)$

d) Tính $(x + 1) (x - 1) (x + 2)$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $3 x (2 x^{2} - x + 1) = 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$

b) $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = x^{2} - x - 6$

c) $(2 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} - x - 1 = 2 x^{3} + x^{2} + x - 1$

d) $(x + 1) (x - 1) (x + 2) = (x^{2} - 1) (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$

Bài 5: Phép chia đa thức cho đơn thức

a) Tính $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x) : 2 x$

b) Tính $(15 x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} + 5 x^{2} y) : 5 x^{2} y$

c) Thực hiện phép chia: $(8 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x) : 4 x$

d) Tìm $a$ để $(a x^{3} - 6 x^{2} + 3 x) : 3 x = 2 x^{2} - 2 x + 1$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x) : 2 x = 3 x^{2} - 2 x + 1$

b) $(15 x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} + 5 x^{2} y) : 5 x^{2} y = 3 x^{2} - 2 x y + 1$

c) $(8 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x) : 4 x = 2 x^{2} - 3 x + 1$

d) $(a x^{3} - 6 x^{2} + 3 x) : 3 x = \frac{a}{3} x^{2} - 2 x + 1$ Để bằng $2 x^{2} - 2 x + 1$ , ta cần $\frac{a}{3} = 2$ , suy ra $a = 6$

Bài 6: Bài toán tổng hợp

a) Cho $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ và $Q (x) = x^{2} - x + 2$ . Tính $P (x) - Q (x)$

b) Tính giá trị của biểu thức $P (x) - Q (x)$ tại $x = 2$

c) Tìm nghiệm của đa thức $R (x) = x^{2} - 3 x + 2$

d) Phân tích $R (x)$ thành tích các nhân tử

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $P (x) - Q (x) = (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) - (x^{2} - x + 2) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 3$

b) Tại $x = 2$ : $P (2) - Q (2) = 8 - 12 + 4 - 3 = - 3$

c) Để tìm nghiệm của $R (x) = x^{2} - 3 x + 2 = 0$ : $(x - 1) (x - 2) = 0$ Nghiệm: $x = 1$ hoặc $x = 2$

d) $R (x) = x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$

Bài 7: Bài toán thực tế - Hình học

a) Một hình chữ nhật có chiều dài $(2 x + 3)$ cm và chiều rộng $(x + 1)$ cm. Viết biểu thức tính diện tích

b) Tính diện tích khi $x = 5$ cm

c) Một hình vuông có cạnh $(x + 2)$ cm. So sánh diện tích hình vuông và hình chữ nhật trên

d) Tìm $x$ để diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Diện tích hình chữ nhật: $S_{1} = (2 x + 3) (x + 1) = 2 x^{2} + 5 x + 3$ (cm²)

b) Khi $x = 5$ : $S_{1} = 2 (25) + 5 (5) + 3 = 50 + 25 + 3 = 78$ cm²

c) Diện tích hình vuông: $S_{2} = (x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ (cm²)

d) Để $S_{1} = S_{2}$ : $2 x^{2} + 5 x + 3 = x^{2} + 4 x + 4$ $x^{2} + x - 1 = 0$ $x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ (chỉ lấy nghiệm dương)

Bài 8: Bài toán thực tế - Vật lý

a) Quãng đường một vật chuyển động được biểu diễn bởi $s (t) = 2 t^{2} + 3 t + 1$ (m), với $t$ là thời gian (giây). Tính quãng đường sau 3 giây

b) Vận tốc tức thời được tính bởi $v (t) = 4 t + 3$ (m/s). Tính vận tốc sau 2 giây

c) Gia tốc của vật là $a = 4$ (m/s²). Viết công thức tổng quát cho chuyển động này

d) Tìm thời điểm vật có vận tốc 15 m/s

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Quãng đường sau 3 giây: $s (3) = 2 (9) + 3 (3) + 1 = 18 + 9 + 1 = 28$ m

b) Vận tốc sau 2 giây: $v (2) = 4 (2) + 3 = 11$ m/s

c) Với gia tốc $a = 4$ m/s², vận tốc ban đầu $v_{0} = 3$ m/s, vị trí ban đầu $s_{0} = 1$ m: $s (t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + s_{0} = 2 t^{2} + 3 t + 1$ m

d) Để $v (t) = 15$ : $4 t + 3 = 15$ , suy ra $t = 3$ giây

Bài 9: Bài toán nâng cao (Câu lớn)

Cho hai đa thức:

$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + b$
$Q (x) = x^{2} - 3 x + 2$

a) Tính $P (x) + Q (x)$ và $P (x) - Q (x)$

b) Tìm $a$ và $b$ biết $P (1) = 2$ và $P (2) = 6$

c) Với giá trị $a, b$ vừa tìm được, tính $P (x) \cdot Q (x)$

d) Thực hiện phép chia $P (x) : (x - 1)$ và tìm dư

e) Chứng minh rằng $x = 1$ là nghiệm của $P (x)$ với $a, b$ tìm được

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $P (x) + Q (x) = x^{3} - x^{2} + (a - 3) x + (b + 2)$ $P (x) - Q (x) = x^{3} - 3 x^{2} + (a + 3) x + (b - 2)$

b) Từ điều kiện: $P (1) = 1 - 2 + a + b = 2 \Rightarrow a + b = 3$ $P (2) = 8 - 8 + 2 a + b = 6 \Rightarrow 2 a + b = 6$ Giải hệ: $a = 3, b = 0$

c) Với $a = 3, b = 0$ : $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x$ $P (x) \cdot Q (x) = (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) (x^{2} - 3 x + 2) = x^{5} - 5 x^{4} + 11 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x$

d) $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x + 2) + 0$ , dư = 0

e) $P (1) = 1 - 2 + 3 = 2 \neq = 0$ . Cần kiểm tra lại: với $a = 3, b = 0$ , $P (1) = 2 \neq = 0$

Bài 10: Bài toán nâng cao (Câu lớn)

Một công ty sản xuất có chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được biểu diễn bởi: $C (x) = 2 x^{2} + 10 x + 50$ (nghìn đồng)

a) Tính chi phí sản xuất 20 sản phẩm

b) Doanh thu bán $x$ sản phẩm là $R (x) = 30 x$ (nghìn đồng). Viết biểu thức lợi nhuận $L (x) = R (x) - C (x)$

c) Tìm số sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận bằng 0 (hòa vốn)

d) Tính lợi nhuận khi sản xuất 15 sản phẩm

e) Tìm số sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất (gợi ý: dùng đạo hàm hoặc phương pháp đại số)

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Chi phí sản xuất 20 sản phẩm: $C (20) = 2 (400) + 10 (20) + 50 = 1050$ nghìn đồng

b) Lợi nhuận: $L (x) = R (x) - C (x) = 30 x - (2 x^{2} + 10 x + 50) = - 2 x^{2} + 20 x - 50$

c) Để hòa vốn: $L (x) = 0$ $- 2 x^{2} + 20 x - 50 = 0$ $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ $(x - 5)^{2} = 0$ , suy ra $x = 5$ sản phẩm

d) Lợi nhuận khi $x = 15$ : $L (15) = - 2 (225) + 20 (15) - 50 = - 200$ nghìn đồng (lỗ)

e) $L (x) = - 2 x^{2} + 20 x - 50 = - 2 (x^{2} - 10 x + 25) = - 2 (x - 5)^{2}$ Lợi nhuận lớn nhất khi $x = 5$ sản phẩm, $L_{ma x} = 0$

⭐ Ghi nhớ

💡 Những điều cần ghi nhớ

Đơn thức: Biểu thức gồm số, biến hoặc tích của chúng
Bậc đơn thức: Tổng số mũ của các biến (số khác 0 có bậc 0)
Đa thức: Tổng các đơn thức, bậc là bậc cao nhất
Cộng trừ đa thức: Nhóm các đơn thức đồng dạng
Nhân đa thức: Áp dụng tính chất phân phối
Chia đa thức cho đơn thức: Chia từng hạng tử
Giá trị đa thức: Thay số vào biến
Nghiệm đa thức: Giá trị làm đa thức bằng 0